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1轴对称撰稿：龚剑钧审稿：李岩责编：邵剑一．知识要点：1.轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（2）常见的轴对称图形。①线段：有2条对称轴，它的对称轴是线段本身所在直线和线段的垂直平分线。②角：有1条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。③等腰三角形（除等边三角形）：有1条对称轴，它的对称轴是顶角平分线的所在直线（或底边上的中线所在直线，或底边上的高线所在直线，或底边的垂直平分线所在直线）。④等边三角形：有3条对称轴，它的对称轴是角平分线的所在直线。⑤长方形（除正方形）：有2条对称轴，它的对称轴是对边中点确定的直线。⑥正方形：有4条对称轴，它的对称轴是两组对边中点确定的直线和两条对角线所在的直线。⑦正n边形：有n条对称轴，它的对称轴是过其中心和顶点的直线。⑧圆：有无数条对称轴，它的对称轴是过圆心的任一条直线。2.轴对称：把一个图形沿着条一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。3.轴对称与轴对称图形的区别和联系：（1）区别：轴对称是指两个图形的对称关系，只有1条对称轴；轴对称图形是指一个图形的对称特性，不一定只有一条对称轴，可能有多条。（2）联系：成轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形。4.对称轴的做法：对称点所连线段的垂直平分线5.轴对称的性质：2（1）关于某直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；（3）关于某直线对称的两条线段如果相交或延长后相交，那么这个点一定交在对称轴上。（4）在对称轴上的点的对称图形为其本身。6.关于坐标轴对称的点的坐标的特点点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，－y）；关于y轴的对称点是（－x，y）7.利用轴对称变换求解最值问题。（1）河边供水；（2）将军饮马。二．例题分析（一）识别轴对称图形及轴对称1．下列“表情”中属于轴对称图形的是（C）A．B．C．D.2.下列图形中有一条对称轴的是_______；有两条对称轴的是_________；有三条对称轴是_________；有四条对称轴的是__________；有五条对称轴的是___________；有无数条对称轴的是__________.A.正方形B.长方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等边三角形F.角G.线段H.圆I.正五角星（分析）有一条对称轴的是C，D，F；有三条对称轴是E；有四条对称轴的是A；有两条对称轴的是B，G；有五条对称轴的是I；有无数条对称轴的是H.小结（1）对称轴是一条直线；（2）轴对称图形的对称轴至少有1条.3.两个大小不同的圆可以组成图中的五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点.3（分析）因为对于一个圆来说，它有无数条对称轴，每条对称轴都是经过圆心的直线，而对于由两个圆组成的图形来说，它的对称轴就是同时经过两个圆圆心的直线，因此图14-12中五个图形都是轴对称图形，并且每个图形都只有1条对称轴.（因为两点确定一条直线而且只确定一条直线）解：对称轴略.它们五种图形的对称轴都是经过两圆心的直线，即直线O1O2是对称轴.4．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有5个．（二）轴对称的有关作图及性质5.如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称.则∠B′＝___________，AB＝___________，A′C′＝___________.（分析）由轴对称变换的性质可知，对称线段相等，对称角相等.解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B′=∠B=135°，AB=A′B′=20cm，A′C′=AC=30cm.6.已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）4答案：（分析）△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形.作法：以图（3)为例，（1）过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的对称点；（2）类似地，可以分别作出点B、点C关于直线l的对称点B′，C′；（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′即为所求.7.如下图所示，已知半圆和△ABC及直线l，作出这个图形关于直线l的对称图形.（不要求写作法）5分析这个图形由一个半圆和一个三角形组成，作出三角形关于直线l的对称图形方法与上题相同，而作出半圆关于直线l的对称图形，就要注意到组成这个半圆的要素是：直径DA.在画它的对称图形时，首先画出直径DA关于直线l的对称图形，再在半圆弧上找一点E，作出E关于l的对称点，即可画出原图的对称图形.解：如图所示.小结几何图形都可以看作由点组成，我们只需分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连接这些点的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.8.如图所示,EFGH是一个台球桌面,有黑白两球分别置于A、B两点位置上，试问怎样撞击白球B，经桌面HE、EF连续反弹后，准确击中黑球A？（写作法并作图）答案：69.如图所示，图A、图B分别是6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为SA，SB（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题.（1）填空：SA∶SB的值是___________.（2）请在图C中的网格上画上一个面积为8个平方单位的轴对称图形.（分析）（1）SA=14×1+8×=14+4=18（平方单位），SB=16×1+12×=16+6=22（平方单位）.∴SA∶SB=18∶22=9∶11（或）.（2）这是一个图案设计题，方案有很多，如图14－50所示.解：（1）9∶11（或）（2）自行设计，符合题意即可.（三）操作问题10.如图所示，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为P，Q，M，N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：A与___________对应；B与___________对应；C与___________对应；D与___________对应.答案：MPQN711.如图所示，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为()A.4B.6C.8D.10（分析）关于图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用，解题时，①应抓住折叠前后的图形全等；②应注意折叠前后的对应关系.画出折叠前后的对比图，找出对应关系.如图所示，从折叠前后的图形中可知，DE=BC=AD=6，∴△ADE是等腰直角三角形.∴∠AED=45°.∴∠FEC=45°.又∵∠C=90°∴△EFC是等腰直角三角形.∴EC=DC-DE=AB-DE=4.∴S△CEF=×4×4=8.答案：C12．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（C）813.为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）.请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法.（只画图，不写作法）答案：（四）用坐标表示轴对称14.若点M（2，a）和点N（a+b，-3）关于x轴对称，试求a，b的值.（分析）由于M，N关于x轴对称，所以它们横坐标相同，纵坐标互为相反数.解：由题意可知，∴∴a=3，b=-1.15.若点P（a，b）和点Q（2，1）关于y轴对称，求a+b的值.答案：由题意可知，a=-2，b=1，∴a+b=-1.16.如图所示，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=-1（记为n）对称的图形。9答：关于x=1对称，则点P，Q，R的对称点坐标分别为P′(3，3)，Q′(6，5)，R′(6，1).关于y=-1对称，则点P，Q，R的对称点坐标分别为P″(-1，-5)，Q″(-4，-7)，R″(-4，-3)17.欣赏下面对联，感悟轴对称在文学中的踪影.（1）秀山青雨青山秀，香柏古风古柏香；（2）雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.观察上述对联，你也试一试，作出一幅类似的对联.答：略。18.如图所示的是在一面镜子里面看到的一个算式，该算式的实际情况的怎样的？（分析）从镜子里面看东西，左右正好相反.解：实际的算式情况如图所示.