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1轴对称(2)编稿老师：李岩审稿老师：龚剑均责编:邵剑英(一)教学目标1、掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，能用它们解决相关问题．2、能利用轴对称变换求解最值问题．(二)知识要点1、线段的垂直平分线的概念垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．[符号语言]如图，∵OP垂直平分线段AB，∴PA=PB．[作用]证明线段相等和作图的重要依据之一．3、线段垂直平分线的判定定理到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．[符号语言]∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．[作用]证明点在线段的垂直平分线上的方法．4、线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．5、三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点称为三角形的外心。(三)典型例题1、(1)如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AB，交AB于E，交AC于D，若AB=AC=32，BC=21，则△BCD的周长为________．(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，DE⊥AB交BC于D，若∠1：∠2=1：2，则∠B=________，∠BAC=________．2解：(1)∵DE垂直平分线段AB，∴AD=BD．∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC．∵AC=32，BC=21，∴=53．(2)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线．∴AD=BD，∴∠2=∠B．∵∠C=90°，∴∠1+∠2+∠B=90°．∵∠1：∠2=1：2，∴∠1=18°，∠B=∠2=36°，∠BAC=∠1+∠2=54°．[小结]线段垂直平分线的性质在具体问题中的应用时，多数与等腰三角形性质联系在一起，因此应熟悉等腰三角形的一些基本性质．2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，垂足为H，交AB于E．交BC延长线于F，求证：∠B=∠CAF．证明：∵EF垂直平分AD∴AF=DF∴∠DAF=∠ADF。即∠ADF=∠2+∠CAF。∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵∠ADF=∠1+∠B∴∠B=∠CAF。[小结]在运用线段的垂直平分线性质时，一定要分清哪条是线段，哪条是垂直平分线，以便正确写出等式。3、如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D作DE⊥3AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF．证明：连结BD、CD∵DM垂直平分BC∴BD=CD∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF∵在Rt△BDE和Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴BE=CF[小结]这是常见的添加辅助线的方法。4、如图所示，△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连结BD。①若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数；②若AB=AC，且△BCD的周长为18cm,△ABC的周长为30cm，求BE的长。解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB∴∠A=∠DBA=50°。又∵∠ABC=∠C，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=65°-50°=15°(2)∵△BDC的周长为，∴BD+DC+BC=18.①又∵△ABC的周长为30cm，且AB=AC，∴AB+AC+BC=30，∴2AC+BC=30.②由①可得，DA+DC+BC=18，即AC+BC=18.③②-③得AC=AB=12。∴。45、如图，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线。证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB=90°∴DE=DC∴点D在CE的垂直平分线上∵在Rt△ADE和Rt△ADC中∴Rt△ADE≌Rt△ADC.(HL)∴AE=AC∴点A在CE的垂直平分线上∴直线AD是CE的垂直平分线。[小结]在运用线段的垂直平分线的判定定理时，注意两点才能确定一条直线。6、如图，某地有两所大学和两条交叉的公路，点M、N表示大学，OA、OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计。解：(1)作出MN的垂直平分线EF(2)作出∠AOB的平分线OP，∠AOB的外角的平分线OQ，EF与OP交于点C与OQ交于点D，点C，D即为仓库的位置。57、(1)已知A，B两点，如图，在直线上求作一点P，使PA+PB最小解：作点B关于的对称点，连结，与交于点P，连结BP。点P即为所求。[问]为什么这样做，就可以使PA+PB最小。证明：在上再取一点M(不与P重合)，，连结BM，，AM，因此∵在中，即∴∴点P即为所求。(2)已知A，B两点，如图，在直线上求作一点P，使PA与PB这两条线段的差最大解：连结AB，并延长与交于点P，即为所求。理由：在上任取一点M(不与P重合)，连结AM，BM∵在△ABM中，∴∴点P即为所求。(3)已知A，B两点，如图，在直线MN上求作一点P，使∠APM=∠BPN解：作点B关于MN的对称点。连结，与MN交于点P，连结BP。点P即为所求。理由：由对称性可知6∵∴。(4)已知如图，某人在锐角∠AOB的内部的点P，分别在OA，OB边上求作一点M，N，使三角形PMN的周长最小解：作点P关于OA、OB的对称点D、C连结CD，与OA交于点M，与OB交于点N，连结PM，PN此时，点M、N即为所求。理由：由对称性，PM=DM，PN=CN∴△PMN的周长在OA上另取一点E，在OB上另取一点F连结PE，DE，EF，PF，CF因此PE=DEPF=CF。∴△PEF的周长∴∴得证。(5)已知如图P，Q，两点在∠AOB内部，某人由点P出发先到OA边后到OB边然后到点Q，最后回到点P。作出此人行走的最短的路线解：作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点，连结，与OA，OB分别交于点M，N。∴此人行走的最短路线为理由类似(4)，由同学们自行解决。(6)如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。7解：分别作点M关于河边和草地的对称点。连结，，与河边、草地交于点E、F，连结ME、MF。因此为所求最短放牧路线。8、如图，P、Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最短。解：作点P关于BC的对称点。连结，与BC交于点R。连结PR。此时△PQR的周长最短。