线性变换

§6.4线性变换一、线性变换的概念线性空间中向量之间的联系是通过线性空间到线性空间的映射(变换)来实现的.1.映射定义:设有两个非空集合A,B,如果对于A中任一元素,按照一定规则,总有B中一个确定的元素和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射),记作=T()或记作=T(A).设A,T()=,就说变换T把元素变为,称为在变换T下的象,称为在变换T下的源(或象源),称A为变换T的源集,象的全体所构成的集合称为象集,记作T(A),即T(A)={=T()|A}.变换概念是函数概念的推广.显然,T(A)B.2.从线性空间Vn到Um的线性变换定义:设Vn,Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间,T是一个从Vn到Um的变换,如果变换T满足:(1)任给1,2Vn,都有T(1+2)=T(1)+T(2);(2)任给Vn,kR,都有T(k)=kT().则称T为从Vn到Um的线性变换.说明:线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换.一般用黑体大写字母T,A,B等代表线性变换,T()或T代表元素在变换T下的象.下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换．3.从线性空间Vn到其自身的线性变换一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.例1:在线性空间P[x]3中.(1)求导运算D是一个到其自身的线性变换.事实上,对任意的p=a3x3+a2x2+a1x+a0,q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]n,则Dp=3a3x2+2a2x+a1,Dq=3b3x2+2b2x+b1,从而D(p+q)=D((a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3))=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1)=Dp+Dq.=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0,)=3ka3x2+2ka2x+ka1=k(3a3x2+2a2x+a1)=kDpD(kp)(2)如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0,则T也是P[x]3上的一个线性变换.事实上,对任意的p=a3x3+a2x2+a1x+a0,q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]3,T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q),T(kp)=ka0=kT(p).(3)如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1,则T1是P[x]3上的一个变换,但不是线性变换.由于T1(p+q)=1,但T1(p)+T1(q)=1+1=2,所以T1(p+q)T1(p)+T1(q).例2:线性空间V中的零变换O:O()=0是线性变换.证明:设,V,则有所以,零变换O是线性变换.O(+)=0O(k)=0=O()+O(),=0+0=kO().=k0注意:零变换中对应的元素必须是空间的零元0.yxyxTcossinsincos例3:由关系式确定xoy平面上的一个变换,说明T的几何意义.解:先证明变换T是线性变换.,cossinsincosA设,,222111yxpyxp则T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2),cossinsincosyxyxT(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).所以,变换T是线性变换.xyop1上式表明:变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.p,sincosryrx于是yxTcossinsincosyxyxcossinsincossinsincoscosrrrr,)sin()cos(rr记一般地,在线性空间Rn中,设A为n阶方阵,xRn,变换T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.事实上,对任意的x,xRn,=A(x+x)=A(kx)=kAxT(x+x)=Ax+Ax=T(x)+T(x),T(kx)=kT(x).例4:定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间C[a,b],在这个空间中变换dttfxfTxa)())((是一个线性变换.证明:设f(x),g(x)C[a,b],则有dttgtfxa)]()([T(f(x)+g(x))dttgdttfxaxa)()(=T(f(x))+T(g(x)),故命题得证.dttkfxa)(tdtfkxa)(T(kf(x))=kT(f(x))例5:线性空间V中的恒等变换(或称单位变换)E:是线性变换.E()=,V,证明:设,V,则有所以,恒等变换E是线性变换.E(+)=+E(k)=k=kE().=E()+E(),例6:在R3中定义变换:则T不是R3的一个线性变换.T(x1,x2,x3)=(x12,x2+x3,0),证明:对任意的=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)R3,T(+)=T(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=((a1+b1)2,(a2+b2)+(a3+b3),0)(a12,a2+a3,0)+(b12,b2+b3,0)=T()+T().故,T不是R3的一个线性变换.二、线性变换的性质1.T(0)=0,T(–)=–T().以下设T为线性空间Vn的线性变换.2.若=k11+k22+···+kmm,则T=k1T1+k2T2+···+kmTm.3.若1,2,···,m线性相关,则T1,T2,···,Tm亦线性相关.注意:若1,2,···,m线性无关,则T1,T2,···,Tm不一定线性无关.实际上,T(0)=T(0)=0T()=0;T(–)=T((–1))=(–1)T()=–T().此性质表明:线性变换对线性组合保持不变.利用性质2即可证明.4.线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间,称T(Vn)为线性变换T的象空间.从而则对任意的1,2T(Vn),有1,2Vn,使得T1=1,T2=2,1+2=T1+T2k1=kT1=T(1+2)T(Vn),=T(k1)T(Vn),(因1+2Vn)(因k1Vn)证明:由于T是Vn上的线性变换,故T(Vn)Vn.又由于0Vn,故T(Vn)非空.则0=T(0)T(Vn),由上述证明知:T(Vn)对Vn中的线性运算封闭,故T(Vn)是Vn的子空间.从而则对任意的1,2ST,T(k1)=kT(1)=k0=0,证明:显然STVn.故ST非空.由于T(0)=0,则0ST,由上述证明知:ST对Vn中的线性运算封闭,故ST是Vn的子空间.有T(1)=0,T(2)=0,T(1+2)=T(1)+T(2)=0+0=0,故1+2ST,故k1ST,5.ST={|T1=0,Vn}(经T变换到0的全体元素构成的集合)是Vn的子空间.称ST为线性变换T的核.,21niiiiaaa其中对Rn上的线性变换:T(x)=Ax,xRn,则有(1)T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1,2,···,n所生成的向量空间:即T(Rn)={y=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}(2)T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.),,,,(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA设三、小结反之,若要证明一个变换T不是线性变换,只须证明T不保持加法或数乘运算,实际上只须举出一个反例即可.要证明线性空间Vn的一个变换T是线性变换,必须证明T保持加法和数乘运算,即T(+)=T()+T(),T(k)=kT().思考题解答证明(略).几何意义:将xoy平面作为一面镜子,()就是对于这面镜子反射所成的象.这个变换也称为镜面变换或称反射变换.思考题,)(321321aaaaaa定义R3空间的一个变换:试证明是R3空间的一个线性变换,并分析其几何意义.