《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题

1/4《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题例1某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了41小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程．例2某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列出方程．例3甲骑自行车从A地出发，以每小时12千米的速度驶向B地，经15分钟后乙骑自行车从B地出发，以每小时14千米的速度驶向A地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A、B两地的距离．2/4参考答案例1分析该题可以有如下相等关系：一学生从学校追上队伍走的路程＝队伍走过的路程如果设当学生追上队伍时，队伍走了x小时，则队伍走过的路程可以表示为4x，学生离开队伍到追上队伍共走了41x小时，所以学生从学校追上队伍走过的路程可以表示为441)41(5x，所以可得方程.4441)41(5xx解设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是x小时，根据题意，得xx4441)41(5解这个方程，得412x，所以学校到实习基地的路程是：5.105.14124答：学校到实习基地的路程是10.5千米．说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是x千米，有兴趣的读者可以自己试一试．例2分析可以进行不同的构思．比如：相遇问题、追及问题等．解法一补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？解答：设经x小时两车相遇，根据题意，得.403545xx解法二补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车距乙地还有多远？解答：设运货汽车距乙地还有x千米，依题意得.45403540x解法三补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在距甲地多少千米处相遇？解答：设两车在距甲地x千米处相遇，依题意得.4540235xx请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程．说明：这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解．例3分析（1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系．3/41）从行驶时间角度考虑，有下列相等关系：①乙从出发到相遇所行时间＝甲从出发到相遇所行时间－甲提前经过的时间；②乙从出发到相遇所行时间＋甲提前经过的时间＝甲从出发到相遇所行时间；③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程（两地距离）与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间．2）从行驶路程角度考虑，有下列等量关系：①甲行驶的路程＝全程一半－1.5千米；②乙行驶的路程＝全程一半＋1.5千米．（2）本题也可以通过间接设元法来找到答案．甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系．根据本题特点，A、B两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系，我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题．解法一设A、B两地距离为2x千米，依时间关系①，得6015125.1145.1xx，即4124322832xx，两边乘以4，得1632732xx，去分母，得42)32(7)32(6xx，解这个方程，得.812x答：A、B两地的距离为81千米．为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程．解法二设A、B两地的距离为2x千米，依时间关系②，得.125.16015145.1xx解法三设A、B两地的距离为2x千米，依时间关系③.14126015122145.1xx解法四设乙出发x小时后与甲相遇，则A、B两地相距)5.114(2x千米，4/4依路程关系①，得.5.1145.1601512xx解这个方程，得.3x81)5.1314(2)5.114(2x，答：A、B两地相距81千米．解法五设甲出发x小时后与乙相遇，则A、B两地相距)5.112(2x千米，依路程关系②，得5.1125.1601514xx解这个方程，得25.3x，.81)5.125.312(2)5.112(2x说明：这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异．