定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln,ln,ln(0)yxyaybaby及轴所围成的平面图形的面积为A=lnlnbyaedy=b-a______2.2yxyx曲线和所围成的平面图形的面积是____13____二．计算题：1．求由抛物线y2=2x与直线2x+y–2=0所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y，解方程组2222yxyx得12121/22,12xxyy即抛物线与直线的交点为（21，1）和(2,-2).故所求图形在直线y=1和y=-2之间，即积分区间为［－2，1］。（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［y,y+dy］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y）-21y2］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素dA=[(１－21y)-21y2]dy(3)所求图形面积A=12[（1-21y）-21y2]dy=[y-41y2–61y3]12=942．求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。解：由y=-x2+4x–3得'24,'(0)4,'(3)2yxyy。抛物线在点（0，-3）处的切线方程为y=4x–3;在点（3，0）处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为（32，3）。故面积A=332223029[(43)(43)][(26)(43)]4xxxdxxxxdx3．求由摆线x=a(t–sint),y=a(1-cost)的一拱（02t）与横轴所围成的图形的面积。解：2200()(1cos)(1cos)aAyxdxatatdt22201cos2(12cos)32tatdta4．求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r=3cos及r=1+cos解：两曲线的交点由3cos33,1cos3322rrrr解得及故A=223203112(1cos)(3cos)22dd=32031cos295(12cos)(1cos2)224dd5．计算由摆线x=a(t–sint),y=a(1-cost)的一拱（02t），直线y=0所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。解：2222200()(1cos)(1cos)axVyxdxatatdt2323230(13cos3coscos)5atttdta22222100()()aayVxydyxydy=222220(sin)sin(sin)sinattatdtattatdt232330(sin)sin6atttdta6．求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：{2222xyyx，得圆与抛物线的两个交点为{11yx，{11yx，所以积分区间为[-1，1]。（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x,x+dx]，与它对应的薄片体积近似于[（2-x2）-x4]dx,从而得到体积元素dV=[（2-x2）-x4]dx=（2-x2-x4）dx.（3）故xV=11（2-x2-x4）dx=15447．求圆盘22(2)1xy绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。解设旋转体积为V，则3212*21(2)Vxxdx222222222222sin(2sin)cos(1cos2)sincos1(sin2)|42xtttdttdtttdttt令则V=4448．设有抛物线C：y=a–bx2(a0,b0)，试确定常数a,b的值，使得C与直线y=x+1相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为(x,y),由于抛物线与y=x+1相切，故有K=-2bx=1,得12xb由211122abbb解得114ab，即：14(1)ba由22200()2(1)2aaayaVaxdydyaabb令'()2(23)0Vaaa得23,34ab9．设星形线方程为33cossinxatyat（a0），求：（1）由星形线所围图形的面积（2）星形线的长度。解：（1）由对称性得A032024()4sin3cos(sin)ayxdxatattdt242220312sincos8attdta（2）L=22204'()'()xtytdt=2222204(3cossin)(3sincos)attattdt=2012sincos6attdta10．计算曲线11cossin,ttxdyd自原点到与具有铅直的切线最近点的弧长。解：sintancosdytdydtttdxtdxdtt曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为2t，原点对应的参数t=1。故s=2222222111cossin'()'()ln|ln2ttxtytdtdtttt11．设S1为曲线y=x2、直线y=t2（t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y=x2、直线y=t2及x=1所围图形的面积。问t为何值时，S=S1+S2取得最大值、最小值。解：1222232041()()()33ttSttxdxxtdxtt令2121'()420,0,2Sttttt解得于是1112(0),(),(1)3243SSS故Smax=S(1)=23,Smin=11()24S三．证明题：1.证明：曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长。证明：y=sinx的一个周期的弧长L1=22220041'41cosydxxdx椭圆2x2+y2=2即：2221(2)yx化为参数方程为cos(02)2sinxttyt其弧长为L2=222222220004'()'()4sin2cos41cosxtytdtttdttdt故L1=L2