第二章条件概率、全概率

1概率论与数理统计王力2019高教版2概率论与数理统计第二章条件概率与独立性3引例设一批产品共有100个，其中60个为一等品，30个为二等品，10个为废品.一、二等品都为合格品，求这批产品的一等品率和合格品中的一等品率?解:设事件A=“产品为一等品”，则这批产品的一等品率P(A)=60/100，而合格品中的一等品率为P(A)=60/(60+30)=60/90.4引例设一批产品共有100个，其中60个为一等品，30个为二等品，10个为废品.一、二等品都为合格品，求这批产品的一等品率和合格品中的一等品率?解:设事件A=“产品为一等品”，D=“产品为合格品”，则这批产品的一等品率P(A|S)=60/100，而合格品中的一等品率为P(A|D)=60/(60+30)=60/90.5第二章条件概率与独立性2.1条件概率、乘法定理在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外，还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率，记为P(A|B).6相应地，将P(A)称为无条件概率.严格说来，概率都是有条件的，因为试验E都是在一组固定的条件下进行的.我们这里所说的条件，无非是指在试验E原有的一组固定条件外再增加一个附加条件:“B发生”.7例2.1.1两台机床加工同一种零件共100个，结果如下：实验者合格品数次品数总计第一台机床加工数35540第二台机床加工数501060总计85151008设A=“从100个零件中任取一个为合格品”，B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”，求(a)P(A)和P(B)；(b)P(AB)；(c)P(A|B)和P(B|Ac).9解:(a)P(A)=#A/#S=85/100=0.85，P(B)=40/100=0.40；(b)P(AB)=35/100=0.35；(c)P(A|B)=35/40=0.875，P(B|Ac)=5/15≈0.333.10比较(a)与(c)中的结果P(A)=0.85，P(A|B)=0.875；P(B)=0.40，P(B|Ac)=1/3≈0.333；可见P(A|B)P(A)，而P(B|Ac)P(B).这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁大谁小也不能肯定.11由例2.1.1的结果P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35，P(B)=0.40而0.35/0.40=0.875，还可以验证下面的式子成立：P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)12而式子P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)即)0)(()()()|(BPBPABPBAP13注意式子P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)的成立不是偶然的，它是一条普遍规律.下面就古典概率的情况证明之.14设样本空间S={e1,e2,…,en}，其中导致A，B和AB发生的基本事件分别为m，k，r个(r≤m，r≤k).如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个.故)()(//)|(BPABPnknrkrBAP15同理可证)0)(()()()|(APAPABPABP16但是，这个普遍规律P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0)不能在一般的情况下用纯数学的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义，叙述如下：17定义2.1.1设A和B为任意两个事件，且P(B)0，则称比值P(AB)/P(B)为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)=P(AB)/P(B).即()(|)()PABPABPB18定理2.1.1条件概率P(AB)/P(B)(P(B)0)满足概率公理化定义中的公理1~3.证明(ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0.(ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.19(ⅲ)设事件A1,A2,…,An,…是互不相容的，则A1B,A2B,…,AnB,…也互不相容.因此P{((A1+A2+…+An+…)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+….这就证明了条件概率的完全可加性.20)(}){(}|){(2121BPBAAAPBAAAPnn)()(21BPBABABAPn)()()()(21BPBAPBAPBAPn)|()|()|(21BAPBAPBAPn这就证明了条件概率的完全可加性.21由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理，所以由概率公理化定义中的那些公理推得的一切结果对于条件概率同样成立.22即推论1P(|B)=0.推论2设A1,A2,…,An是互不相容的事件，则P{(A1+A2+…+An)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B).推论30≤P(A|B)≤1.23由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率性质都适用于条件概率.即(ⅰ)对任一事件A，有0≤P(A|B)≤1；(ⅱ)P(S|B)=1；(ⅲ)若事件A1,A2,…,An是互不相容的事件，则P{(A1+A2+…+An)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B).24(ⅳ)P(Ac|B)=1−P(A|B).(ⅴ)P(|B)=0.(ⅵ)若AC，则P(A|B)≤P(C|B)，且P{(C−A)|B}=P(C|B)−P(A|B).(ⅶ)(一般概率的加法公式)对任二事件A、C有P(A∪C|B)=P(A|B)+P(C|B)−P(AC|B).25由条件概率的定义式P(A|B)=P(AB)/P(B)立即可得P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)0.类似地有P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0.这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下面的定理.26定理2.1.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的条件概率的乘积，即P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B).27乘法定理很容易推广到n个事件上去.定理2.1.3设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2，且P(A1A2…An-1)0，则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).即12121312121()()(|)(|)(|)nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA28证由于0)()()(121211nAAAPAAPAP故)|()|()|()(121213121nnAAAAPAAAPAAPAP)()()()()()()(12121213211211nnAAAPAAAPAAPAAAPAPAAPAP)(21nAAAP29例2.1.2设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解设A=“动物能活20岁以上”，B=“动物能活25岁以上”，则P(A)=0.8，P(B)=0.4.30而所求的概率为P(B|A).P(B|A)=P(AB)/P(A).由于BA，故AB=B，于是P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.31例2.1.3包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率为0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若又未破，第三次扔下被打破的概率为0.9.今将这种包装了的器皿连续扔三次，求器皿被打破的概率？解设器皿被打破的事件为A，器皿第i次扔下被打破事件为Ai(i=1,2,3)，则123AAAA32解一设器皿被打破的事件为A，器皿第i次扔下被打破事件为Ai(i=1,2,3)，则()1()PAPA1231()PAAA)|()|()(1213121AAAPAAPAP33依题意知：9.0)|(6.0)|(4.0)(213121AAAPAAPAP从而976.01.04.06.01)(AP34解二：321211AAAAAAA显然，321211,,AAAAAA是互不相容的，故35故)()()()(321211AAAPAAPAPAP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP976.09.04.06.06.06.04.036第二章条件概率与独立性2.2全概率公式在概率的计算中，人们希望通过已知的简单事件的概率去求未知的较复杂事件的概率.在这里，全概率公式起了很重要的作用，先看一个例子.37例2.2.1设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是有物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，甲先抓乙后抓，求每人抓得有物之阄的概率？解设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件.显然，P(A)=2/10，下面求P(B).P(B)=2/1038因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即BA+Ac，所以B=B(A+Ac)=BA+BAc.因A与Ac互不相容，故BA与BAc也互不相容，39由概率加法公式和乘法定理得)|()()|()()()()(ABPAPABPAPABPBAPBP511029210891102此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无关，它的一般情况已在古典概率的例题1.3.5中进行了介绍.40从例2.2.1求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事件A与Ac，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然后利用概率的加法公式和乘法定理求得了P(B).一般有下面的定理.41定理2.2.1(全概率公式)设A1,A2,…,An是互不相容的事件，且P(Ai)0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B，有A1+A2+…+AnB，则niiiABPAPBP1)|()()(42证因A1+A2+…+AnB，故B=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn.由于A1+A2+…+An互不相容，故BA1,BA2,…,BAn也互不相容.由概率加法公式和乘法定理得)()()()(21nBAPBAPBAPBP43)()()()(21nBAPBAPBAPBP)|()()|()()|()(2211nnABPAPABPAPABPAPniiiABPAP1)|()(44“全概率公式”名称的来由“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:在较复杂的情况下直接计算P(B)不易，但B总是随某个Ai伴出，适当去构造这一组Ai(i=1,2,…,n)往往可以简化计算.121()()()()()(|)nniiiPBPBAPBAPBAPAPBA45“全概率公式”还可以从另一个角度去理解:把Ai(i=1,2,…,n)看成是导致发生B的一种可能途径.对不同的途径Ai，B发生的概率即条件概率P(B|Ai)各不相同，而采取哪个途径却是随机的.46直观上易理解:在这种机制下，B的综合概率P(B)应在最小的P(B|Ai)和最大的P(B|Ai)之间，但也不一定是所有P(B|Ai)的算术平均，因为各途径被使用的机会P(Ai)各不相同，正确的答案如所预期，应是诸P(B|Ai)(i=1,2,…,n)，以P(Ai)(i=1,2,…,n)为权的加权平均值.47形象的例子如下:某中学有若干个毕业班，各班的升学率不同，其总升学率，是各班升学率的加权平均，其权与各班学生数成比例.又如若干工厂生产同一产品，其废品率各不相同，若将各厂的产品汇总，则总废品率为各厂废品率的加权平均，其权与各厂产量成比例.48例2.2.2一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，问它