概率论与数理统计笔记(重要公式)

高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式）第一章随机事件与概率随机事件的关系与运算：1.事件的包含与相等若A发生必然导致B发生，则称B包含A，记作BA,AB。有：øAΩ若AB且BA，则称A与B相等，记作A=B。2.和事件(并)称”A,B中至少有一个发生”为A与B的和事件，记作A∪B或A+B。有：(1)AA∪B,BA∪B(2)若AB,则A∪B=B3.积事件(交)称”A,B同时发生”为A与B的积事件，记作A∩B，简记为AB。有：(1)ABA,ABB(2)若AB，则AB=A4.差事件称”A发生而B不发生”为A与B的差事件，记作A-B。有：(1)A-BA(2)若AB，则A-B=ø5.互不相容若A与B不能同时发生，即AB=ø，则称A与B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容(或互斥)6.对立事件称”A不发生”为A的对立事件(或余事件，或逆事件)，记作Ā。若A与B中至少有一个发生，且A与B互不相容，即A∪B=Ω,AB=ø，则称A与B互为对立事件。有：(1)A=A.(2)=ø,=Ω.(3)A-B=AB=A-AB注意：若A与B为对立事件，则A与B互不相容。但反过来不一定成立.概率的定义与性质:设Ω为随机试验E的样本空间，对于E的每个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称P(A)为事件A的概率，如果它满足下列条件：(1)P(A)≥0;(2)P(Ω)=1;(3)A1,.A2,…Am,…是一列互不相容的事件，则有P(1kAk)=1kP(Ak)性质:(1)0≤P(A)≤1,P(Φ)=0(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当A与B互不相容时，P(A∪B)=P(A)+P(B)推广：对于任意事件A,B,C有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)当A1,.A2,…An互不相容时，(其中n为正整数)P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(3)P(B-A)=P(B)-P(AB)特别地，当AB时，P(B-A)=P(B)-P(A)，且P(A)≤P(B)(4)P(A)=1-P(A)古典概型:P(A)=nr=A中样本点数/Ω中样本点总数=A所包含的基本事件数/基本事件总数条件概率:设A,B是两个事件，且P(B)0，称P(A|B)=)()(BPABP为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。显然，当P(A)0时，P(B|A)=)()(APABP.概率的乘法公式：当P(A)0时，P(AB)=P(A)P(B|A)当P(B)0时，P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式还可以推广到n个事件的情况：(1)设P(AB)0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(2)设P(A1A2…An-1)0，则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)全概率公式:设随机试验对应的样本空间为Ω，设A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分，B是任意一个事件，则P(B)=ni1P(Ai)P(B|Ai)当0P(A)1时，A与A就是Ω的一个划分，又设B为任一事件，则全概率公式的最简单形式为P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)运算律:交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)对偶律：BA=AB,AB=A∪B贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是样本空间Ω的一个划分，B是任意一个事件，且p(B)0，则P(Ai|B)=P(B))A|()(iBPAPi=nkkiBPAPBPAP1ki)A|()()A|()(,i=1,..,nn重贝努利(Bernoulli)试验:Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.(q=1-p)高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式）事件的独立性:定义：若P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立，简称A,B独立。性质：(1)设P(A)0，则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0，则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).(2)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B都相互独立定义：设A,B,C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C相互独立，简称A,B,C独立定义：设A,B,C为3个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称A,B,C两两独立A,B,C独立必有A,B,C两两独立，但反之不然定义：设A1,A2,…,An为n个事件，若对于任意整数k(1≤k≤n)和任意k个整数1≤i1i2…ik≤n，有P(Ai1,Ai2,…,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)则称A1,A2,…,An相互独立直观上说，n个事件的独立性要求n个事件中任取2个、3个…n个组成的积事件的概率等于每个事件概率的乘积对于n个相互独立事件A1,A2,…,An，其和事件的概率可以通过下式计算：P(A1∪A2∪…∪An)=1-P(1A2A…nA)=1-P(1A)P(2A)…P(nA)附录排列:从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素排成一列(考虑元素次序)称此为一个排列，此种排列总数记为Arn按乘法原理，取出的第一个元素有n种取法，取出的第二个元素有n-1种取法……取出的第r个元素有n-r+1种取法，则有Arn＝nX(n-1)X…X(n-r+1)=)!(!rnn当r=n时，则称为全排列，排列总数为Arn＝n!组合：从n个不同元素中任取r(r≤n)个元素排成一组(不考虑元素间的次序)称此为一个组合，此种组合总数记为Crn或(rn)。按乘法原理，此种组合的总数为Crn＝(rn)＝!rArn＝!1)r-X(n1)X-nX(nr＝)!(!!rnrn在此规定0！＝1，Cn0＝(0n)＝12.性质Crn＝Crnn事实上，Crn＝)!(!!rnrn＝)]!([)!(!rnnrnn＝Crnn特别地，Cnn＝Cn0＝1高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式）第二章随机变量及其概率分布离散型随机变量连续型随机变量若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量：P{X=xk}=pk,k=1,2,….若随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对任意实数x有F(x)=xdttf)(则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对于每一结果(样本点)ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)，称为随机变量，通常用X,Y,Z,…或X1,X2,…来表示设X为离散型随机变量，可能取值为x1,x2,…,xk,…且P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则称{pk}为X的分布律表格形式:Xx1,x2,…,xk,…Pp1,p2,…,pk,…{pk}性质：（1）pk≥0,k=1,2,…（2）1kkp=1在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样事件的概率，求法就是把满足条件的xk所对应的概率pk相加可得其分布函数F(x)=xxkkp0-1分布：若随机变量X只取两个可能值0,1，且P{X=1}=p,P{X=0}=q其中0p1,q=1-p,则称X服从0-1分布.X的分布律为X01Pqp概率密度的性质：(1)f(x)≥0(2)dxxf)(=1(3)P{aX≤b}=F(b)-F(a)=badxxf)(,a≤b(4)设x为f(x)的连续点，则F’(x)存在，且F’(x)=f(x)均匀分布X~U(a,b)若随机变量X的概率密度为ab1,a≤x≤bf(x)=0,其他则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为0,x≤aF(x)=abax,axb1,x≥b设X~U(a,b),a≤cd≤b，即[a,b][c,d]，则P{c≤X≤d}=abcd随机变量的分布函数:设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+∞)为X的分布函数.F(x)=xxkkp分布函数的性质：(1)0≤F(x)≤1(2)F(x)是不减函数，即对于任意的x1x2有F(x1)≤F(x2)(3)F(-∞)=0,F(+∞)=1即limnF(x)=0,limnF(x)=1(4)F(x)右连续，即F(x+0)=lim0xF(x+∆x)=F(x)已知F(x)，可求概率：(1)P{X≤b}=F(b)(2)P{aX≤b}=F(b)-F(a),其中ab(3)P{Xb}=1-F(b)二项分布X~B(n,p)：若随机变量X只取两个可能值0,1,…,n,而X的分布律为pk=P{X=xk}=knkknqpC,k=0,1,2,…,n,其中0p1,p+q=1，则称X服从参数为n,p的二项分布。指数分布X~E(λ)若随机变量X的概率密度为0()00xxefxx其中λ0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，其分布函数为01()00xxefxx。对任意的s0,t0，有P{Xs+t|Xs}=P{Xt}(指数分布的无记忆性)高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式）泊松定理设λ0是常数，n是任意正整数，且npn=λ，则对于任意取定的非负整数k，有limnknnkknppC)1(=ekk!当n很大p很小时，有近似公式knkknqpC≈ekk!其中λ=np泊松分布X~P(λ):pk=P{X=k}=ekk!,k=0,1,2,…其中λ0标准正态分布函数Φ(x)性质：(1)Φ(-x)=1-Φ(x)(2)Φ(0)=21一般正态分布的分布函数F(x)与标准正态分布函数Φ(x)关系：(1)F(x)=P{X≤x}=Φ(x)(2)P{aX≤b}=P{a≤Xb}=P{a≤X≤b}=P{aXb}=F(b)-F(a)=Φ(b)-Φ(a)（3）P{Xa}=P{X≥a}=1-Φ(a)当g(x1),g(x2),…g(xk),…有相等的情况时，应把使g(xk)相等的那些xi所对应的概率相加，作为Y取值g(xk)的概率，这样才能得到Y的分布律.有时我们只求Y=g(X)在某一点y处取值的概率，有P{Y=y}=P{g(X)=y}=yxgkkkp)(:即把满足g(xk)=y的xk所对应的概率相加即可连续型随机变量函数的概率分布：设X为连续型随机变量，其概率密度fX(x)。设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为[α,β]，且g’(x)≠0。记x=h(y)为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度fX(h(y))|h’(y)|,αyβfY(y)=0,其他特别地，当α=-∞,β=+∞时，fY(y)=fX(h(y))|h’(y)|,-∞y+∞两个重要结论：(必须记住)当X~N(μ,σ2)时Y=X~N(0,1)，且随机变量X称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换Y=aX+b仍是正态随机变量，即aX+b~N(aμ+b,a2σ2)柯西(Cauchy)分布设X~U(-2,2)，令Y=tanX，求Y的概率密度fY(y)fY(y)=fX(h(y))|h’(y)|=2111y,-∞y+∞正态分布X~N(μ,σ2)若随机变量X的概率密度为f(x)=12222)(xe,-∞x+∞.其分布函数为F(x)=x12222)(tedt特别地，当μ=0,σ=1时的正态分布