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7.5三角形内角和定理（第2课时）---三角形的外角观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？BCA1DACB1DACB1D外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三个特征:1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;2.∠1的一条边是三角形的一条边;3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.···画一个三角形，再画出它所有的外角.想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？它们是什么关系每一个三角形都有６个外角;每一个顶点相对应的外角都有２个;同一顶点处的两个外角相等跟踪练习如图1，△ADC的外角是（）A.∠ABCB.∠ACDC.∠BDCD.∠BCD124三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系?外角A3BCD相邻内角不相邻内角1.相邻的内角：2.不相邻的两内角：三角形的外角与内角的关系：如图△ABC中，则∠ACB+∠ACD＝180°ABCD？？结论1：三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角即三角形的外角与它相邻内角的和为180°邻补角相邻且和为180ABC△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系？D∠ACD=∠A+∠B能证明这个结论吗？???ABCD证明：△ABC中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）∠ACD=∠A+∠BDACB∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A∠ACD﹥∠B三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?？？三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.∠B+∠C=∠CAD性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.∠CAD∠B，∠CAD∠CABCD3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的外角与内角的关系定理：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论。推论和定理一样，在证明过程中可以直接使用。160°小试牛刀：1、求下列各图中∠1的度数。50°45°135°120°1（1）(2)(3)160°55°2、求各图中∠1的度数100o60o1证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=1/2∠EAC（等式的性质）∵AD平分（已知）∴∠DAC=1/2∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）例2:已知：如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BCABCDE对于此题还有其它的证明方法吗？试比较∠1、∠A的大小关系？你能比较∠2、∠A的关系么？再试试看。2PABCD1应用引入：例3:已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB，PC.求证:∠BPC＞∠A.ABDPC证明:延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PCD的一个外角（外角的定义）∴∠BPC＞∠PDC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠PDC＞∠A.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BPC＞∠A.对于此题还有其它的证明方法吗？∵∠1是△ABP的一个外角∴∠1＞∠3∵∠2是△ACP的一个外角∴∠2＞∠4∴∠1+∠2＞∠3+∠4即∠BPC＞∠BACE(1)证明：连接AP并延长交BC于点E.1234例2：已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。则∠BPC与∠A、∠ABP、∠ACP有怎样的等量关系？说明理由。？？？？例2（2）∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP证明：∵∠1是△PDC的一个外角∴∠1=∠2+∠3∵∠2是△ABD的一个外角∴∠2=∠A+∠4∴∠1=∠A+∠3+∠4即∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACPD1234证明：∵∠1是△ABP的一个外角∴∠1=∠3+∠5∵∠2是△ACP的一个外角∴∠2=∠4+∠6∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6即∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACPE123456321ABC564已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。求证：∠1+∠2+∠3=360°结论：三角形的外角和等于360°通常把一个三角形每一个顶点处的一个外角的和叫做三角形的外角和。提高升华：跟踪练习1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定C2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB4.如图所示,∠1=_______.140°80°1120°5.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.30°或75°6.如图所,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=______DCBA120°1.已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式性质).拔尖自助餐2.(1)如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.(2)把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)相等，也可凑到一个三角形中.