对勾函数图象性质

对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+𝐛𝐱的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+𝐛𝐱（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）a0b0a0b0对勾函数的图像（ab同号）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a0，b0。之后当a0，b0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x0时，f(x)=ax+bx≥2√ab(当且尽当ax=bx时取等号)，此时x=√ba。当x0时，f(x)=ax+bx≤−2√ab(当且尽当ax=bx时取等号)，此时x=−√ba。即对勾函数的定点坐标：A:(√ba,2√ab)、B:(−√ba,−2√ab)(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。定义域：{x|x≠0}；值域：{y|y2√ab或y−2√ab}(四)对勾函数的单调性对于函数f(x)=ax+bx：单调增区间：(−∞,−√ba]∪[√ba,+∞)；单调减区间：(−√ba,0)∪(0,√ba)(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：对于函数f(x)=ax+bx，它的渐进线有两条：y=ax；y=0；(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、类对勾函数性质探讨函数xbaxy，在时或00ba为简单的单调函数，不予讨论。yXOy=ax在时且00ba有如下几种情况：(1)0,0ba(2)0,0ba(3)0,0ba(4)0,0ba设axy1，xby2，则xbaxyyy21，其定义域为0,|xRxx且(1)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递增。故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递增函数。(2)0,0ba时，axy1，xby2在),0(),0,(上分别单调递减。故xbaxyyy21在),0(),0,(为单调递减函数(3)0,0ba图像略1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221。当且仅当xbax，即abx取等号。2当0x时01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21，当且仅当xbax，即abx（因为0x，故舍掉abx）取等号。4)0,0ba1当0x时，01axy，02xbyabxbaxxbaxxbaxyyy22)(21。当且仅当xbax，即abx取等号。2当0x时01axy，02xbyabxbaxxbaxyyy2221，当且仅当xbax，即abx取等号。四、对勾函数练习：1．若x1.求11xxy的最小值2.若x1.求1222xxxy的最小值3.若x1.求112xxxy的最小值4.若x0.求xxy23的最小值5.已知函数)),1[(22xxaxxy（1）求的最小值时，求)(21xfa(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)0恒成立,求a范围6.:方程sin2x－asinx+4=0在[0,2]内有解，则a的取值范围是__________7.函数1027yxxx的最小值为____________；函数1027yxxx的最大值为_________。8.函数xxy432的最大值为。9、若14x，则22222xxxy的最值是。10.函数xxy22sin4sin9的最小值是。11.若不等式2229ttatt在2,0t上恒成立，则a的取值范围是。12.求函数111612xxxxxxf的最值。13.的值域时，求，当142)()10(xxxfx14.的值域求31)(22xxxxxf