椭圆知识点总结

1椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，2)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；（2）)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；知识点四：椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形3性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意：椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(ba和)10(eace，222cba；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标4准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。（一）椭圆及其性质1、椭圆的定义5（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆奎屯王新敞新疆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率奎屯王新敞新疆2、椭圆的标准方程)(sincos为参数byax3、椭圆的参数方程4、离心率:椭圆焦距与长轴长之比奎屯王新敞新疆ace2)(1abe奎屯王新敞新疆10e奎屯王新敞新疆椭圆的准线方程左准线caxl21:右准线caxl22:（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar（右焦半径）02exar其中e是离心率奎屯王新敞新疆焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）奎屯王新敞新疆（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（则弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk例1.已知椭圆及直线y＝x＋m。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，则AB的斜率为－b2x0a2y0.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．A、B都在椭圆上，∴x12a2＋y12b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得6x12－x22a2＋y12－y22b2＝0，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，即y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.故kAB＝－b2x0a2y0.例、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。（四）、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆C：1162522yx内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求｜PA｜+35｜PF｜的最小值。2：已知椭圆1162522yx内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF|的最大值与最小值。3：已知椭圆1162522yx外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求|PA|+d53的最小值。4：定长为d(abd22)的线段AB的两个端点分别在椭圆)0(12222babyax上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。三种方法1：椭圆22221xyab的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积。2：已知椭圆221123xy和直线l:x-y+9=0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点12,FF为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。3：过椭圆2222xy的焦点的直线交椭圆A,B两点，求AOB面积的最大值。7课后同步练习1.椭圆11692522yx的焦点坐标是,离心率是________，准线方程是_________.2.已知F1、F2是椭圆191622yx的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为()A．8B．16C．25D．323.椭圆192522yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.104.已知椭圆方程为1112022yx,那么它的焦距是（）A.6B.3C.331D.315.如果方程222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)6．设21,FF为定点，|21FF|=6，动点M满足6||||21MFMF，则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.线段7.已知方程12mx+my22=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.8.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（23,25），则椭圆标准方程是_____奎屯王新敞新疆9.过点A（-1，-2）且与椭圆19622yx的两个焦点相同的椭圆标准方程是____奎屯王新敞新疆10.过点P（3，-2），Q（-23，1）两点的椭圆标准方程是______奎屯王新敞新疆11.若椭圆19822ykx的离心率是21，则k的值等于.12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是.13.F1、F2分别为椭圆22ax+22by=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是14.设M是椭圆1162522yx上一点，F1、F2为焦点，621MFF，则21FMFS15.在给定椭圆中，过焦点