搜索
大学物理第十一章：真空中的静电场一、电场强度：数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力的大小，也等于单位面积电通量的大小（即电场线密度）；方向与该点的受力方向（或者说电场线方向）一致。二、电场强度的计算：a)点电荷的电场强度：𝑬=𝑭𝑞0=14𝜋𝜀0𝑞𝑟3𝒓b)电偶极子中垂线上任意一点的电场强度：𝑬=−𝑞𝒍4𝜋𝜀0𝑟3（𝒍表示点到电偶极子连线的距离）c)均匀带电直棒：i.有限长度：𝑬=𝜆4𝜋𝜀0𝑎(𝑠𝑖𝑛𝜃2−𝑠𝑖𝑛𝜃1)𝒊+𝜆4𝜋𝜀0𝑎(𝑐𝑜𝑠𝜃1−𝑐𝑜𝑠𝜃2)𝒋ii.无限长（𝜃1=0，𝜃2=𝜋）：𝑬=𝐸𝑦𝒋=𝜆2𝜋𝜀0𝑎𝒋iii.半无限长：（𝜃1=𝜋2，𝜃2=𝜋或者𝜃1=0，𝜃2=𝜋2）𝑬=𝜆4𝜋𝜀0𝑎(−𝒊+𝒋)或𝑬=𝜆4𝜋𝜀0𝑎(𝒊+𝒋)三、电通量a)电场线：电场线上任意一点的切线方向与该点的电场强度E的方向一致，曲线的疏密程度表示该点电场强度的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电场线条数满足：E=𝑑Φ𝑒𝑑𝑆⊥电场中某点的电场强度大小等于该处的电场线密度，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电场线条数。b)静电场电场线的特点：1.电场线起于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或伸向无穷远），在无电荷的地方不会中断；2.任意两条电场线不相交，即静电场中每一点的电场强度只有一个方向；3.电场线不形成闭合回路；4.电场强处电场线密集，电场弱处电场线稀疏。c)电通量i.均匀电场E穿过任意平面S的电通量：Φ𝑒=𝐸𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃ii.非均匀电场E穿过曲面S的电通量：Φ𝑒=∫𝐸∙𝑆𝑑𝑆Φ𝑒=∮𝐸𝑆𝑑𝑆四、高斯定理a)Φ𝑒=∮𝐸∙𝑑𝑆𝑆=1𝜀0∑𝑞𝑖b)表述：真空中任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该闭合曲面内包围的电荷的代数和除以𝜀0;c)理解：1.高斯定理表达式左边的E是闭合面上dS处的电场强度，他是由闭合面内外全部电荷共同产生的，即闭合曲面外的电荷对空间各点的E有贡献，要影响闭合面上的各面元的同量dΦ𝑒。2.通过闭合曲面的总电量只决定于闭合面内包围的电荷，闭合曲面外部的电荷对闭合面的总电通量无贡献。d)应用：1.均匀带电球面外一点的场强相当于全部电荷集中于球心的点电荷在该点的电场强度。2.均匀带电球面内部的电场强度处处为零。五、电势a)静电场环路定理：在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。b)电场中a点的电势：1.无穷远为电势零点：𝑈𝑎=𝑊𝑎𝑞0=∫𝐸∙𝑑𝑙∞𝑎2.任意b点为电势零点：𝑈𝑎=∫𝐸∙𝑑𝑙𝑏𝑎六、电势能：电荷在电场中由于受到电场作用而具有电荷中的电荷比值决定位置的能叫做电势能，𝑊𝑎=𝑊𝑎∞=∫𝑞0∙𝐸∙𝑑𝑙∞𝑎七、电势叠加定理：点电荷系电场中任意一点的电势等于各点电荷单独存在该点所产生的电势的代数和。八、等势面与电场线的关系：1.等势面与电场线处处正交；2.电场线指向电势降落的方向；3.等势面与电场线密集处场强的量值大，稀疏处场强量值小。九、电势梯度：a)E=−(𝜕𝑈𝜕𝑥i+𝜕𝑈𝜕𝑦j+𝜕𝑈𝜕𝑧k)b)电场中任意一点的电场强度等于该点点势梯度的负值。第十二章静电场中的导体电介质一、处于静电平衡状态下的导体的性质：a)导体内部，电场强度处处为零；导体表明的电场强度方向垂直该处导体表面；电场线不进入导体内部，而与导体表面正交。b)导体内部、表面各处电势相同，整个导体为一个等势体。c)导体内无净电荷，净电荷只分部于导体外表面d)导体表面上各处的电荷面密度与该处表面紧邻处的电场强度大小成正比。e)孤立导体表面各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面密度也越大。二、空腔导体：a)导体空腔内无带电体的情况：i.当导体空腔内没有其他带电体时，在静电平衡条件下，空腔内部电场强度处处为零，整个空腔是一个等势体；若空腔带电，则电荷只分布在导体壳外表面，空腔内表面处处没有电荷。b)导体空腔内有带电体（电量为q）的情况i.空腔导体原来不带电，空腔外表面感应电荷为q，空腔内表面感应电荷为-q。如果空腔导体原来带电量Q，则内外表面电荷量分别加上Q。三、A、B为两个任意带电平面：σ1=σ4，σ2=−σ3四、静电场中的电介质：a)电介质中的电场强度：i.𝐄=𝑬𝟎−𝑬′=𝝈𝟎−𝝈′𝜺𝟎ii.𝐄=𝑬𝟎𝜺𝒓电介质极化后，介质内部任意一处，合电场强度E𝐸0，但不等于0，这是电场中的电介质与电场中的导体静电平衡后的重要区别。五、电介质中的高斯定理：a)∮𝑫∙𝒅𝑺𝑺=∑𝒒𝟎其中D=𝜀0𝜀𝑟𝐸=𝜎0，𝑞0表示自由电荷数，S表示高斯面，𝜎0表示导体板上自由电荷的面密度六、有电介质存在时静电场的分析计算：i.由介质中的高斯定理先计算空间D的分布，再由D=εE求得空间电场E的分布。ii.例子见书本P47-48；七、电容器a)𝑪=𝒒𝑼注：孤立导体球的电容𝑪=𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹b)1F=106𝜇𝐹=1012𝑝𝐹c)几种常见电容器的电容1.平行板电容器：𝐂=𝜺𝟎𝜺𝒓𝑺𝒅=𝜺𝑺𝒅2.圆柱形电容器：𝐂=𝟐𝝅𝜺𝟎𝑳𝐥𝐧𝑹𝟐𝑹𝟏（𝑅1、𝑅2分别表示电容器的内外半径，L为圆柱体的高度）3.球形电容器：𝑪=𝒒𝑼𝑨−𝑼𝑩=𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹𝟏𝑹𝟐𝑹𝟐−𝑹𝟏(𝑅1、𝑅2分别表示电容器的内外半径)d)计算电容器的一般步骤：i.首先假设电容器两个极板A和B分别带电量为+q和-q;ii.求两极板之间的电场E的分布；iii.求两极板之间的电势差𝑈𝐴−𝑈𝐵=∫𝐸∙𝑑𝑙𝐵𝐴；iv.由电容器电容的定义式𝐶=𝑞𝑈𝐴−𝑈𝐵求得电容。八、电容器并联相当于电阻的串联（总容值变大）、电容器的串联相当于电阻的并联（总容值变小）九、电场的能量：a)带电电容器的能量：𝑊𝑒=𝑄22𝐶=12𝐶𝑈2=12𝑄𝑈=12𝜀𝐸2𝑉（V表示电场体积）b)电场的能量密度：𝜔𝑒=12𝐷𝐸第13章、稳恒电流的磁场一、电流a)定义：单位时间内通过导线某一截面的电量叫做电流强度或电流。I=∆𝑞∆𝑡b)电流密度𝑗：电流密度𝑗的方向与该点电流流向相同，电流密度的大小是通过单位面积的电流。I=∫𝑑𝐼𝑆=∫𝐽∙𝑑𝑆𝑆可见，电流I为某一截面积的电流密度通量。二、电动势：a)定义：单位正电荷从电源负极（低电势）经过电源内部移到电源正极（髙电势）时非静电场力做的功叫做电源电动势。b)指向：自负极经电源内部指向正极。c)ξ=∮𝐸𝑖∙𝑑𝑙𝐿电动势等于单位正电荷绕闭合回路L一周时，非静电场力所做的功。{非静电场力的环流不为零，因此，它是非保守力，这种非静电场力场称为非保守力场’}三、右手螺旋法则：a)对于直电流，用右手握住直导线，大拇指指向电流方向，四指弯曲方向就是磁场方向；b)对于圆电流，大拇指指向磁场方向，四指弯曲方向表示电流方向。四、磁感应强度a)运动电荷在磁场中的受力：F=qvB；b)磁场的方向为试验电荷的“零受力方向”，即𝐹𝑚𝑎𝑥×𝑣的方向；c)磁场强度的单位为特斯拉“T”；五、毕奥—萨伐尔定律B=𝜇04𝜋∫𝐼𝑑𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟2𝑙a)直线i.一段载流直导线的磁场B=𝜇0𝐼4𝜋𝑥∫𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝜃2𝜃1=𝜇0𝐼4𝜋𝑥(𝑐𝑜𝑠𝜃1−𝑐𝑜𝑠𝜃2)ii.无限长直导线的磁场B=𝜇0𝐼2𝜋𝑥iii.半无限长直导线的磁场B=𝜇0𝐼4𝜋𝑥iv.载流直导线的延长线上的磁场为零。b)圆环i.圆电流轴线上的磁场：B=𝜇0𝐼𝑅22（𝑅2+𝑟2）3/2=𝜇0𝐼S2π（𝑅2+𝑟2）3/2ii.圆心处：B=𝜇0𝐼2𝑅iii.当x≫R的时候，B=𝜇0𝐼𝑆2𝜋𝑥3iv.磁矩：𝐦=IS𝑒𝑛c)载流直螺线管轴线上的磁场（n为单位长度螺线管匝数）i.有限长：B=𝜇02𝑛𝐼(𝑐𝑜𝑠𝛽2−𝑐𝑜𝑠𝛽1)ii.无限长：B=𝜇0𝑛𝐼iii.长直螺线管的端点：B=12𝜇0𝑛𝐼六、磁感线的性质：a)磁感线是没有起点也没有终点的闭合曲线；b)磁感线总是与产生磁场的电流互相套链，磁感线的方向与电流方向服从右手螺旋法则；c)任意两条磁感线不相交，即磁场中每一点的磁感应方向只有一个方向；d)磁场强处磁感线密集，磁场弱处磁感线稀疏。七、磁场的高斯定理：∮𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃𝑆𝑑𝑆=∮𝐵𝑆𝑑𝑆=0i.通过任何封闭曲面的磁通量都一定为零。八、安培环路定理：∮𝐵∙𝑑𝑙𝐿=𝜇0∑I𝑖𝐿内a)定理：稳定磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径L的线积分，等于穿过以L为边界的任意曲面的电流的代数和的𝜇0倍。b)说明：磁场是非保守场。九、安培力a)均匀磁场中，一条弯曲成任意形状的载流导线受到的磁力，等于弯曲导体起点到终点的载有同样电流的直导线中受到的磁力，载流区闭合线圈在均匀磁场中受安培力的矢量和为零。十、磁力矩：𝐌=𝐦×𝐁第十四章、电磁感应电磁场一、电磁感应定律1、楞次定律：感应电流的流向总要使他自身所产生的磁通（感生磁通）阻碍闭合回路中原磁场的变化。2、法拉第电磁感应定律：导体回路中的感应电动势ε的大小与穿过该回路的磁通量对时间的变化率𝑑Φ𝑚𝑑𝑡成正比。即：ε=−𝑑Φ𝑚𝑑𝑡（SI）（当回路中有N匝线圈时候，乘上N）3、回路中的感应电量只和磁通量的变化量有关，而与磁通量的变化率（变化快慢）无关。二、电动势1、动生电动势：ε=−𝑑Φ𝑚𝑑𝑡=BLv2、感生电场：随时间变化的磁场在空间中所产生的电场𝐸𝑖。3、感生电动势：ε=−𝑑Φ𝑚𝑑𝑡=∮𝐸𝑖∙𝑑𝑙𝐿=−∫𝜕𝐵𝜕𝑡𝑆∙𝑑𝑠（感生电场的环路定理）4、感生电场与静电场的区别：a)激发源不同：静电场是由静止的电荷激发，而感生电场由磁场激发；b)性质不同：环路定理表明，静电场是保守场，感生电场是非保守场；c)电场线不同：静电场的电场线不闭合、不相交（有源场），感生电场的电场线闭合、无头无尾（无源场）。三、自感与互感1、自感a)磁链：Ψ𝑚=𝑁Φ𝑚=𝐿𝐼，其中𝐿称为自感系数b)自感系数：𝐿=𝑁Φ𝑚𝐼，仅由线圈的大小、形状、匝数以及周围的磁介质的分布所决定。i.长直螺线管：𝐿=𝜇𝑛2𝑉其中𝑉表示螺线管的体积ii.同轴电缆单位长度：𝐿=𝜇2𝜋−𝑙𝑛𝑅外𝑅内c)自感电动势:𝜀𝐿=−𝐿𝑑𝐼𝑑𝑡负号表示自感电动势在电路中起着防抗回路电路变化的作用。2、互感a)互感系数：M=Ψ21𝐼1=Ψ12𝐼2其中Ψ21表示𝐼1所激发的磁场在线圈2的全通磁。互感系数仅由两个线圈的大小、形状、匝数、相对位置以及周围磁介质的分布决定。b)M=k√𝐿1𝐿2其中k为耦合系数c)互感电动势：当M为常量时候，当线圈1中的电流𝐼1变化时，在线圈2中产生的互感电动势：ℰ2=−dΨ21𝑑𝑡=−𝑀𝑑𝐼1𝑑𝑡三、磁场的能量：一个自感为L的线圈中通有电流I时，它存储的能量为𝑊𝑚=12𝐿𝐼2磁场密度为：𝜔𝑚=12𝐵2𝜇=12𝐵𝐻麦克斯韦电磁理论：1、∮𝐷∙𝑑𝑠𝑠=∑𝑞=∫𝜌𝑑𝑉𝑉表明，电场可以由自由电荷和变化和的磁场共同激发。在任意电场中，通过任意封闭曲面的电位移通量等于封闭曲面内包围的自有电荷的代数和。2、∮𝐵∙𝑑𝑠𝑆=0表明，磁场可以由传导电流和变化的电场共同激发。磁场是无源场。在任意磁场中通过任意封闭曲面的磁通量恒为0。3、∮𝐸∙𝑑𝑙=−∫𝜕𝑩𝜕𝑡𝑆𝑆∙𝑑𝑆它表明了变化磁场和电流之间的电场之间的联系，在任何电场中，电场强度沿任意闭合回路L的线积分