高等数学上册复习资料

高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。例如：sinyxx与sinutt是同一个函数。2函数的几种特性（1）有界性()yfxxD如果存在实数1k，使得1()fxk，则称()fx在D上有上界如果存在实数2k，使得1()fxk，则称()fx在D上有下界。有界：既有上界，又有下界。即存在实数1k，2k使得21()kfxk等价于存在0k，使得()fxkxD（2）单调性若对区间I内任意两点12xx，都有12()()()fxfx，则称()yfx在I内单调增加（减少）。若将“()”改成“()”称为严格单调增加（减少）。（3）奇偶性设函数()yfx的定义域关于原点对称如果()()fxfx，则称()fx为偶函数如果()()fxfx，则称()fx为奇函数（4）周期性若()()fxlfx则称()fx是以l为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期3复合函数设()yfu的定义域为1D，又()ugx的定义域为D，且1()gDD，则函数()yfgxxD称为由函数()ugx和函数()yfu构成的复合函数。u称为中间变量，记为：()()()fgxfgx4基本初等函数：（1）幂函数yx（2）指数函数(0,1)xyaaa（3）对数函数logayx特例,lnaeyx（4）三角函数sin,cosyxyx等（5）反三角函数arcsin,arccosyxyx等5初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。例：210()10xxfxxx两个式子，故不是初等函数6函数的极限当x时，若()fx无限地接近于某个确定的数A，则称A为()fx当x时的极限。记为lim()xfxA重要结论：lim()lim()lim()xxxfxAfxfxAlim()xfxA的几何意义：一、yA是他的水平渐近线例如：1lim0xx二、lim()lim()xxfxAfxB而AB，则说明它有两条渐近线。例如：limarctan,,22xxyy两条渐近线。当0xx时，如果()fx无限地接近于某一确定的常数A，则称A为()fx当0xx时的极限。记为：0lim()xxfxA注：（1）()fx在0x处的极限存在与否与()fx在0xx处有无定义没有关系。因为定义中没有要求0xx，只是0xx（2）x趋近于0x的方式是任意的。（即可以从左边，也可以从右边）左极限：当x从左边趋近于0x（记为：0xx）时，()fxA，则称A为()fx当0xx时的左极限。记为：0lim()xxfxA或0()fxA。右极限：0lim()xxfxA0lim()xxfxA0lim()xxfx0lim()xxfxA即左右极限存在且相等若：00()()fxfx，则0lim()xxfx不存在7无穷小量定义：以0为极限的变量称为无穷小（量）定义：当0xx（或x）时，对应的函数值的绝对值()fx无限增大注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大无穷大的几何意义：0lim()xxfx，直线0xx是函数()yfx图形的铅直渐近线（回忆水平渐近线定理二：在自变量的同一变化过程中，如果()fx为无穷大，则1()fx为无穷小；反之，如果()fx为无穷小，且()0fx，则1()fx为无穷大。无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论：（1）有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。（有极限有界）（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小（3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小8无穷小的比较定义：设,都是无穷小(1)若lim0，则称是比高阶的无穷小，记为：0()(2)若lim，则称是比低阶的无穷小(3)若lim0c，则称与是同阶无穷小(4)若lim1，则称与是等价无穷小，记为：~最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论当0x时，sin~,tan~,ln(1)~,1~xxxxxxxex，arcsin~xx，arctan~xx，111~nxxn，211cos~2xx，1~lnxaxa，(1)1~xx注意其引申sin~,tan~kxkxkxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小定理一：设'~，'~，且''lim存在，则''limlim9函数的连续性定义：设函数()yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果0000limlim()()0xxyfxxfx，则称()yfx在点0x处连续。强调：0x包含0,0xx；0,0xx记：0xxx，则000()()()()yfxxfxfxfx0()()fxfxy0x相当于0xx0y相当于0()()fxfx由此，我们得到连续的另一个等价定义定义2：设()yfx在点0x的某一邻域内有定义，如果00lim()()xxfxfx，则称()yfx在点0x处连续。即：在0x处的极限等于它在该点的函数值与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念若0lim0xy，即00lim()()xxfxfx，则称()fx在点0x处左连续若0lim0xy，即00lim()()xxfxfx，则称()fx在点0x处右连续()yfx在点0x处连续左右都连续即000lim()lim()()xxfxfxfx若函数()yfx在点0x处不连续，则称()yfx在点0x处间断。0x称为()yfx的间断点。（1）可去间断点极限0lim()xxfx存在，但()yfx在点0x处无定义或()yfx在点0x处有定义，但00lim()()xxfxfx。则称0x为()fx的可去间断点。（2）跳跃间断点若0lim()xxfx与0lim()xxfx存在，但00lim()lim()xxxxfxfx可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限都存在。第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。特点：是至少有一个单侧极限不存在。常见的有无穷间断点。特点：至少有一个单侧极限为无穷大。一切初等函数在其定义区间内是连续的10函数的导数定义：设函数()yfx在点0x处的某个邻域0()Ux内有定义，给0x以增量x（000,()()xxxUx仍然在该邻域内），若0000()()limlimxxfxxfxyxx存在。则称()fx在0x处可导。并称这个极限值为()fx在0x处的导数。记为：()fx，0xxy，00(),xxxxdfxdydxdx即000()()()limxfxxfxfxx关于导数的几点说明：（1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。（2）令0xxx，当0x时0xx等价定义0000()()()limxxfxfxfxxx或0000()()()limhfxhfxfxh（1）若定义中极限不存在，则称()fx在0x处不可导。在不可导中有一个特殊情形。当0limxyx，则称()fx在0x处的导数为无穷大。（2）如果函数()yfx在开区间I内的每一点处都可导，就称函数()yfx在开区间I内可导。（3）对于任一个xI，都对应着()fx的一个确定的导数值，()xfx。这个函数叫做原来函数()fx的导函数。记作：()dyyfxdx或()dfxdx即0()()limxfxxfxyx或0()()()limhfxhfxfxh注：（1）导函数()fx简称为导数（2）00()()xxfxfx（6）单侧导数1、左导数00000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx2、右导数00000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx0()fx存在00()()fxfx（7）如果()fx在开区间(,)ab内可导，且()()fbfa及都存在，就说()fx在闭区间,ab上可导。函数()fx在点0x处的导数0()fx的几何意义就是曲线()yfx在对应点00(,)Axy处的切线的斜率。于是：曲线()yfx在点00(,)Axy处的切线方程可写成：（1）0()fx存在，则切线方程：000()()yyfxxx法线方程：0001()()yyxxfx（2）若0()fx切线方程：0xx法线方程：0yy定理：若()fx在0x处可导。则()fx在0x处必连续连续但不可导的例子：yx在0x处0lim0(0)xxf所以连续，但不可导注：若不连续，则一定不可导11函数的微分定义：设函数()yfx在某区间内有定义，在0xx处给自变量以增量x，如果相应的函数的增量y总能表示为：()yAxox，其中A与x无关，()ox是x的高阶无穷小。则称函数()yfx在点0x处可微。并称Ax为()fx在点0x处的微分。记作：dy或()dfx即：dyAxA称为微分系数。定理：函数()yfx在0x处可微函数()yfx在0x处可导我们得到函数的可微性与可导性是等价的。（可微可导）。函数在x处的微分()dyfxdx12函数的不定积分定义1设函数F（x）在某区间I上可导，且x∈I有F′(x)=f（x），则称F（x）为函数f（x）在区间I上的一个原函数.定理1设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）为f（x）的全体原函数.定义设函数f（x）在区间I上有定义，称f（x）在区间I上的原函数的全体为f（x）在I上的不定积分，记作()dfxx，其中记号“”称为积分号，f（x）称为被积函数，x称为积分变量.定理1设F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则()dfxx=F（x）+C，C为任意常数.强调：c不能丢，()Fx仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。通常，我们把f（x）在区间I上的原函数的图形称为f（x）的积分曲线，不定积分的性质（1）()()dfxgxx=()dfxx+()dgxx，其中α，β为常数；（2）d()ddfxxx=f（x）；（3）()dfxx=f(x)+C,C为任意常数.13函数的定积分定义设函数f（x在区间［a，b］上有界，今取n+1个分点：a=x0＜x1＜x2＜…＜xi1＜xi＜…＜xn1＜xn=b，将［a，b］分成n个小区间［xi1，xi］，其长度记为Δxi=xixi1（i=1，2，…，n），并令λ=1maxiinx,若ξi∈［xi1,xi］（i=1，2，…，n），极限0lim1nif(ξi)Δxi存在，且该极限值与对区间［a，b］的分划及ξi的取法无关，则称f（x）在［a，b］上可积，且称该极限值为f（x）在［a，b］上的定积分，记为()dbafxx，其中,f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a和b分别称为积分下限和上限，［a，b］称为积分区间，1nif（ξi）Δxi称为积分和.注意：（1）定积分是一个和式的极限，它是一个数。和式很复杂，区间的分法无穷多，点的取法也无穷多。但是，极限与取法、分法无关。（2）定积分由被积函数()fx与积分区间,ab确定，与积分变量无关。即()()()bbbaaafxdxftdtfudu