《工程数学》(概率统计)期末复习提要

《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容.在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考.第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性.⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算.在事件的运算中，要特别注意下述性质：，.概率的主要性质是指：①对任一事件，有；②；③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则.⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为，其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数.⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有，特别地，当时有；⑵条件概率：对于任意事件，若，有，称为发生的条件下发生条件概率.⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时）.⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则.⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立.与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型.离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：①，②；连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：①，②.随机变量的分布函数定义为，对于离散型随机变量有，对于连续型随机变量有.⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度）.⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量）.⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式.⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为，特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为；⑶正态分布的密度函数为.其图形曲线有以下特点：①，即曲线在x轴上方；②，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量.将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y的密度函数为；服从标准正态分布的随机变量的概率为；那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出.常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有，则称与相互独立.对随机变量，有；若相互独立，则有.第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本.样本中所含的样品个数称为样本容量.统计量就是不含未知参数的样本函数.⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值.一般地，的最大似然估计值满足以下方程.⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量.若都是的无偏估计，而且，则称比更有效.⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定.方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知.用检验假设（是已知数），。选取统计量（其中），.对给定的显著性水平，查标准正态分布数值表得到，使得，因为，故若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）.⑵检验法：设是正态总体的一个样本，其中,均未知.用检验假设（是已知数），.选取统计量（其中，称为的样本方差，它是的无偏估计量），服从自由度为的分布。对给定的显著性水平，查分布的临界值表得到临界值，使得若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）.《工程数学》样题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚国徽向上的概率为（）．A.B.C.D.2．若f（x）是连续型随机变量X的密度函数，则对任意，E（x）=（）．A.B.C.D.3.设是来自正态总体的样本，则（）是统计量．A.B.C.D.4.若随机变量，且，则其中参数的值为（）．A.B.C.D.5.若随机事件,满足，则结论（）成立．A.与是对立事件B.与相互独立C.与互不相容D.与互不相容二、填空题（每小题3分，共15分）1.设A、B为两个互斥的随机事件，若，则．2.设X为随机变量，且，则．3.当方差已知时，检验假设所用的检验是．4.设随机变量的密度函数，则．5.若参数的估计量满足，则称为的．三、计算题（每小题10分，共70分）1.一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.2.设离散型随机变量X的概率分布为：X0123a0.10.30.5求：（1）常数a；（2）E（x）；（3）D（x）.3.设随机变量X具有密度函数：，求：（1）；（2）．4.设，试求⑴；⑵．（已知）5.设人的身高服从正态分布，从某学校某年级女生中随机抽取6名，测得其身高如下（单位：公分）：149158.5152.5165157142求平均身高的置信水平为90%的置信区间．（已知：）．6.某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9mm，样本标准差s=0.47，已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平，）．7.设某种元件的使用寿命X的概率密度为，其中为未知参数，又设是来自总体X的一个样本观测值，试求总体参数的极大似然估计．