平口单峰函数(野猪吴剑)(1)

1构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）2017.06.28一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。二：引理证明bug修正。下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。本文将给出一种极其简洁的做法及解释。1.1()42,(,),xxfxababR，若对任意的[0,1]x，1|()|2fx都成立，则b=_____。2.设函数4()||fxaxx，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x，使得0()fxm，则实数m的取值范围是______。3.设函数()||,,fxxaxbabR，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x，使得0()fxm成立，则实数m的取值范围为_______。4.已知函数2()||fxxaxb在区间[0,]xc内的最大值为M，(,,0)abRc为常数，且存在实数,ab使得M的最小值为2，则a+b+c=_______。5.已知2()(4)3fxxaxa对任意[0,4]a，均存在0[0,2]x，使得0|()|fxt成立，则t的取值范围是______。6.设函数2()||fxaxbx，若对于任意实数a,b，总存在0[1,2]x，使得0()fxm成立，则实数m的取值范围是_______。7.设函数2()||fxxaxb，若对于任意实数a,b，总存在0[0,4]x，使得0()fxm成立，则实数m的取值范围是_______。8.已知函数1()||fxxaxbx，当1[,2]2x时，设()fx的最大值为(,)Mab，则(,)Mab的最小值为______。9.首相系数为1的二次函数2()fxxpxq中，找出使得2max||,1x1xpxq取最小值时的函数表达式。10.（09湖北压轴）在R上定义运算bcbqcpqp4))((31：(b、c为常数).记cxxf2)(21，bxxf2)(2，Rx.令)()()(21xfxfxf.(Ⅲ)记()()(11)gxfxx的最大值为M.若M≥k对任意的b、c恒成立，试求2k的最大值.11.()ln(1)fxxaxb，[0,1]x，对于任意的,ab，求|()|fx最大值的最小值。从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感，现将解决方案整理如下。弱弱的引理：若()fx为[,]mn上的连续单峰函数，且()()fmfn，0x为极值点，则当k,b变化时，()|()|gxfxkxb的最大值的最小值为0|()()|2fnfx.当且仅当0()()k0,2fnfxb时取得。这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是弱弱的写点废话证明一下。不妨以00(,),(,)mxxn为例.如图下用反证法证明,kmbknb均等于0()()2fnfx.（1）若两者其一小于0()()2fnfx，不妨设0()()2fnfxknb，此时0()()()()2fnfxfnknb.矛盾.（2）若00()()()(),22fnfxfnfxkmbknb，或00()()()(),22fnfxfnfxkmbknb。则有00()()2fnfxkxb此时000()()()2fnfxkxfx.矛盾.所以0()()2fnfxkmbknb，引理得证。有个这个平口单峰函数，如8题这种“天然”平的那不是直接秒了？例1、题目8.已知函数1()||fxxaxbx，当1[,2]2x时，设()fx的最大值为(,)Mab，则(,)Mab的最小值为______。惊喜的发现1xx在1[,2]2x上已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运。所以(,)Mab的最小值为1221224.（是不是很快很暴力）BUT，尴尬的是，除了8以外，其余各题除一次函数以外的部分都不是“平口单峰”函数.下面以7来分析分析.例2、题目7.设函数2()||fxxaxb，若对于任意实数a,b，总存在0[0,4]x，使得0()fxm成立，则实数m的取值范围是_______。3PS：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数都是酱油，系数丑不丑无所谓，所以可以考虑为2x配凑一个一次式，使2xx成为[0,4]上的“平口单峰”函数。那么很明显，由0,4函数值相等就可以求出4.解：2()|4(4)|fxxxaxb，则()fx最大值的最小值为0(4)22.所以2m.PS：也可以顺便得到40,-24,2abab（）时取得。例3、题目6.设函数2()||fxaxbx，若对于任意实数a,b，总存在0[1,2]x，使得0()fxm成立，则实数m的取值范围是_______。PS：很明显，我们需要给2x凑一个一次式，使得2xx为[1,2]上的“平口单峰”函数.显然由1,2处函数值相等可得1。解：2()|(1)|fxxaxbx，所以()fx最大值的最小值为3222所以3222m.变式：题目11.()ln(1)fxxaxb，[0,1]x，对于任意的,ab，求|()|fx最大值的最小值。例4、题目1.1()42,(,),xxfxababR，若对任意的[0,1]x，1|()|2fx都成立，则b=_____。PS：即21|4|2tatb对任意[1,2]t恒成立，求b。这一题乍一看似乎不是最大值的最小值问题，倒而最大值的最大值小于等于12.不过考虑到容易凑出“平口单峰”函数.try一try吧。解：22|4||4t12(12)|tatbtatb，惊奇的发现2|4t12(12)|tatb最大值的最小值为8(9)122，又因为1|()|2fx恒成立，所以2|4t12(12)|tatb的最大值恰为12。必须满足(12)0,8.5ab，所以8.5b一位成都的老师马上拿出一个联赛题，似乎在区间内“层峰叠峦”。例5、（83高中联赛）求()|2sin(2)|4fxxaxb在3[0,]2上最大值的最小值.PS：如图，其实回想引理的证明过程不难看出，2sin(2)4x4图像上的M，N之间的图像正好是“平口单峰”的，两边的小段只是是打jiangyou而已.解：a=0,b=0时，最大值的最小值为2.例6、（16天津卷）设函数3()(1)fxxaxb,Rx，其中Rba,(II)若)(xf存在极值点0x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：1023xx；（Ⅲ）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间[0,2]上的最大值不小于．．．41.（3）PS：本质就是求证|()|fx最大值的最小值为14，如何构造出[0,2]上的“平口单峰”函数是关键，但是尴尬的是，如果直接利用0,2处函数值相等来凑一次式，得出的式子为3()|(1)(1)|gxxxaxb，而3(1)xx并不是满足条件的“平口单峰”，其实由例5不难看出，只要在区间[0,2]存在两个相同的最大值点，并且最小值点在两个最大值点之间，同样符合引理的使用条件。所以可以考虑构造极大值等于端点值的“平口单峰”函数，如右图，于是令3()(1)hxxx，2()3(1)hxx，极值点013x，由（2）可得32(1)2334.解：333()|(1)()|44gxxxaxb，因为33()(1)4hxxx极大值点为12，极小值点为32，且1()(2)2hh，故由引理可得，当,ab变化时，()gx最大值的最小值为31(2)()(1)122224hh，得证。„„„„„„„„„„„„写了这么几个，其余的全部作为练习吧。现在再看那个题目10那个湖北卷压轴是不是觉得弱爆了.PS：（1）本人作图太渣，所以看例题的时候自己画个图吧。（2）作为大题的话，引理的证明过程拿出来即可作为解答过程。