用等效法分析实验“测电源电动势和内阻”测量误差

第1页共8页用等效法分析实验“测电源电动势和内阻”测量误差罗平一中徐勇关键词：等效法测电动势和内阻测量误差合理性证明摘要：“等效”是物理学中的重要的学习和研究方法，恰当的应用往往能化难为易，化繁为简。例如变力做功可等效为恒力做功，非匀强电场等效为匀强电场等。实验误差分析是中学生物理学习中的难点，尤其像在“测电动势和内阻”这样的实验中，电路复杂多变，涉及误差分析时学生往往束手无策，而一般分析方法复杂而又难记难理解。为解决学生困扰，笔者认为可借用“等效”法来快速、准确分析“测电源电动势和内电阻”实验中电动势和内阻的测量误差。在本文中笔者先给出不同实验方式中等效的方法和结果，再加以证明，希望有益于师生教、学。一、电流表相对电源外接法测电源电动势和内阻的等效误差分析如图1所示的电路为“电流表相对电源外接”。这是实验中最常用的方法。实验误差分析方法：用此法测电源电动势和内阻时，设电动势真实值为真E，测量值为测E，内阻的真实值为真r，测量值为测r，则可将RV等效这电源内阻的一部分，图中虚线框内为等效电源，进一步简化得到等效电路图，则此时等效电源的电动势为测量值测E，等效电源的内阻为测r。由图1“等效电路”可知，当外电路断开时，测E即为电压表两端电压，即VEU测＝。由图可知，电压表内阻RV与真r串联，由电流相等有：真真测＋ｒ＝VVRERE；∴真真测＋ｒ＝VVRREE；A测E测r等效电路图1VA真E真r等效后第2页共8页∴真测＜EE，即电动势测量值小于真实值。仍由图1可知，电源内阻的测量值测r等效于电压表内阻RV与电源内阻真r并联的总电阻，所以有：真真测＋ｒ＝VVRRrr;可见，真测＜ｒr，即测量值比真实值偏小。在“电流表相对电源外接”中，短路电流的测量值和真实值相等。即短真短测＝II。“等效法”的可靠性证明如下：设电压表两次测量的读数依次为U1、U2，电流表示数依次为I1、I2，在不考虑电压表内阻的情况下，电动势和内阻均为测量值。由图1有：测测－＝rIEU11……………………………………………①测测－＝rIEU22…………………………………………②联立①②得：２１１测－－＝IIUUr2……………………………………………③２１１２１测－－＝IIUIUIE2………………………………………④考虑电压表内阻时，电动势和内阻对应真实值。由图1有：真真）＋－（＝rIIEUV11……………………………………⑤真／２真２）＋－（＝rIIEUV…………………………………⑥其中VVRUI１＝，VVRUI２／＝…………………………………⑦联立⑤⑥⑦消去真E得：VRUUIIUUr１２２１１２真－）－－（－＝，分子分母同除１－UU2得：VRUUIIr１－－－１＝１２２１真，考虑到２１１测－－＝IIUUr2第3页共8页∴VVRRUUIIr１－ｒ１１＝１－－－１＝测１２２１真移项整理得：VRr１＋ｒ１＝真测1,或写成：VVRR＋ｒｒ＝ｒ真真Ｉ测。即：电流表相对电源外接测得电源内阻等于电压表内阻与电源真实内阻的并联电阻。再联立⑤⑥⑦消去真r得：）－＋（）－（）－（＝１２１２１２２１真UURIIRIUIUEVV，分子分母同除（１２－II）得：１２１２１１２２１真－）－（＋－－＝IIUURRIIIUIUEVV2，考虑到１２２１２１１２１测－－＝－－＝IIUIUIIIUIUIE122，１２１２２１１测－－Ｕ＝－－－＝IIUIIUUr2，代入上式有：测测真－ｒ＝VVRERE，又∵VVRR＋ｒｒ＝ｒ真真Ｉ测∴化简可得：VVRREE＋ｒ＝真真测。即：电流表相对电源外接测得电源电动势值等于电压表两端电压，因此小于电动势真实值。二、电流表相对电源内接测电源电动势和内阻如图2所示的连接方式称为“电流表相对电源内接”。VAE真图3真ｒ图3图2测E测r等效电路等效后V第4页共8页实验误差分析方法：电流表相对电源内接时，测量中没有考虑其内阻的影响，实为将电流表等效为电源内阻，故有：ArR测真真＝ｒ＋＞ｒ即：电流表内接时，内阻的测量值大于真实值。当外电路断开时，电流表等效为导线，此时电动势测量值等于真实值。即：EE测真＝此方法的可靠性证明如下：设任两次测量电压表和电流表示数分别为1U、1I和2U、2I，所测电动势和内阻分别为E测、r测，真实值为E真、r真，由图2，不考虑电流表内阻AR时，根据闭合电路欧姆定律有：EUI１１测测＝＋ｒ………………………………①EUI２２测测＝＋ｒ………………………………②由①②两式解得：UUII２１测１２－ｒ＝－；UIUIEII１２２１测21－＝－考虑电流表内阻AR时，根据闭合电路欧姆定律有：AEUIR１１真真＝＋（ｒ＋）………………………③AEUIR２２真真＝＋（ｒ＋）………………………④③④两式联立得：AUUII２１真１２－R＋ｒ＝－，又UUII２１测１２－ｒ＝－∴A测真ｒ＝R＋ｒ即：内阻测量值等于真实值与电流表内阻之和。又由③④两式消r真得：UIUIEII１２２１真21－＝－，由前可知：UIUIEII１２２１测21－＝－∴EE测真＝第5页共8页即：电流表内接法测得的电源电动势测量值等于真实值。三、用电流表和可变电阻测电源电动势和内阻。实验误差分析方法：如图3所示，在不使用电压表的情况下，可利用可变电阻R，和一块电流表测量电源电动势和内阻。当改变R的阻值为1R、2R时，电流表中的电流为1I、2I，由于不考虑电流表内阻AR，可将AR等效为电源内阻。因此内阻测量值为：ArR测真＝ｒ＋＞真ｒ即：此法测出的电源内阻大于真实值．而当外电路断开时，端电压等于电源电动势，电流表等效为导线，故测得的端电压等于电源电动势的测量值E测，也就等于真实的电动势E真，即：EE测真＝证明如下：设电阻为1R时电流为1I，则：EI１１测测＝（R＋ｒ）……………………①当可变电阻为2R时电流为2I：EI２２测测＝（R＋ｒ）………………………②由①②两式有：IRIRrII２２１１测１２－＝－；………………………③IIRREII１２１２测２１（－）＝－………………………④考虑电流表内阻，当可变电阻分别为1R、2R，电流1I、2I时，由图3知：等效电源AE真r真RE测r测R等效后图3第6页共8页AEI１１真真＝（R＋ｒ+R）……………………………………………⑤AEI22真真＝（R＋ｒ+R）………………………………………………⑥由⑤⑥消E真得：IRIRIIRIRIRrRIIIIII２２１１２１A２２１１A真１２１２１２（－）（－）（－）＝＋＝－－－－………………⑦将③代入⑦式得：A测真ｒ＝ｒ-R∴A测真ｒ＝ｒ+R即：用电流表和可变电阻测得的电源内阻等效于真实电阻现电流表内阻串联的总电阻。这个阻值显然大于真实值。又由⑤⑥消真ｒ得到电动势的真实值表达式：IIRREII１２１２真２１（－）＝－…………………………………………………⑧∴由④⑧式可知，EE测真＝，即用电流表和可变电阻测得电源电动势的值等于真实值。四、用电压表和可变电阻测电源电动势和内阻。实验误差分析方法：如图4所示，只用一块电压表和一个可变电阻R测量电源电动势和内阻，当改变R的阻值为1R、2R时，电压表示数为1U、2U，由于实验中不考虑电压表内阻VR对结果的影响，可将VR等效为电源内阻。因此内阻测量值为r真与VR的并联电阻，即：VVRrR真测真真ｒ＝ｒｒ＋。即：此法测出的电源内阻小于真实值．而当外电路断开时，电源电动势等效于电压表的路端电压，即：VVREEER测真真真＝＜ｒ＋即：此法测出的电源电动势小于真实电动势．第7页共8页证明：不考虑电压表内阻，当可变电阻为1R、电压表示数为1U时：UEUR１１测测1＝＋ｒ……………………………①当电阻为2R、电流2U时：UEUR22测测2＝＋ｒ……………………………②由①②两式有：UURRURUR２１１２测１２２１（－）ｒ＝－；………………………③UURREURUR１２１２测２１１２（－）＝－…………………………④考虑电压表内阻，当可变电阻分别为1R、2R，电压1U、2U时，由图7知：UEUR１１真真并＝＋ｒ……………………………⑤'UEUR22真真并＝＋ｒ………………………………⑥其中VVRRR1并1R＝R＋；'VVRR2并2RR＝R＋…………………⑦由⑤⑥⑦化简可得：UURRUURRRrURRURRURRRURRRRRRR２１１２２１１２V真１1V22V１21V212V1V2V（－）（－）＝＝（+）（+）（+）－（+）－为方便求解，取真ｒ的倒数计算，则：E真r真RE测r测R等效后图4V等效电路第8页共8页VURRRURRRURURrUURRRUURRR１21V212V１221２１１２V２１１２真（+）－（+）－１１＝＝－（－）（－）…………⑧由③式知道：URURUURR１２２２１１２１测－１＝ｒ（－），代入第⑧式有：V测真１１１＝＋ｒｒｒ…………………………………………………………⑨即：用电压表和可变电阻测得的电源内阻等效于真实电阻现电压表内阻并联的总电阻。这个阻值显然小于真实值。又由⑤⑥⑦化简可得：'121VVUURRUURRURURERRUUURURURUR12１２12并并21１2真＇2１2１并并2１２（－）R（－）－＝＝（-）－＋R－……………………………⑩考虑到UURREURUR１２１２测２１１２（－）＝－，RRUURRUUURURURUR１２２１１２２１测１２２１２１１２（－）（－）ｒ＝＝－－－，代入第⑩式有：VVREER测真测＝－ｒ。将V测真１１１＝＋ｒｒｒ代入化简得：VVREER测真真＝＋ｒ即：电动势的测量值等效于开路时电压表两端电压，故有EE测真＜。