控制工程基础 第四章 频域响应法

第四章频域响应法时域分析法的缺点：（1）高阶系统的分析难以进行；（2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。（3）物理意义欠缺。§4-1引言频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点：（1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。（4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声的系统。设系统的传递函数为：()()()CsGsRs已知输入)sin()(tAtr其拉氏变换为22)(sAsR则系统输出为22)()()()(sAsGsRsGsCnitpitjtjiebeaaetc1)(t趋向于零）稳态响应Css(t)瞬态响应（（假设系统稳定）§4-2频率特性基本概念nnnnmmmmasasasbsbsbsb1111110221111110sAasasasbsbsbsbnnnnmmmmjAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()())(()()()(22jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()())(()()()(22由于)(jG是一个复数向量，因而可表示为jAeejwGjAeejwGeaaetctjjtjjtjtj2)(2)()()()())(sin()(tAjwG))(sin(tAc)()()()(jGjGA线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为)()(jGA输出与输入的相位差)()(jG相频特性幅频特性一、基本概念幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。在系统闭环传递函数G(s)中，令s=j，即可得到系统的频率特性。1、频率响应在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为css(t)2、频率特性)()(jGAAAc幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:)()(jG相频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:)()()(jewAjGRCssG11)(TjRCjjG1111)(频率特性与传递函数具有十分相的形式jssGjG)()(频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sint时系统的稳态输出解首先求出系统的闭环传递函数(s)，令s=j得如=2,则(j2)=0.35-45o则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o)=0.7sin(2t-45o)二、频率特性表示法频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示系统开环频率特性可用以下解析式表示幅频-相频形式：指数形式(极坐标)：三角函数形式：实频-虚频形式：（二）系统频率特性常用的图解形式1.极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线系统频率特性为幅频-相频形式当在0～变化时,相量G(j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的相量G(j)H(j)的端点在复平面G(j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。对数相频特性记为单位为分贝（dB)对数幅频特性记为单位为弧度（rad)如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgw），合称为伯德图(Bode图)。（二）系统频率特性常用的图解形式2.伯德图(Bode图)（二）系统频率特性常用的图解形式3.对数幅相图(Nichols图)将Bode图的两张图合二为一。0o180o-180o)(lg20jwGw0-20dB20dB1.比例环节:G(s)=K§4-3典型环节的幅相频率特性2.积分环节:G(s)=1/s3.微分环节:G(s)=s4.惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)5.一阶微分环节:G(s)=Ts+16.振荡环节1212)(22222swwswswswsGnnnnn12122sTsT7.二阶微分环节1212)(2222sTsTswwssGnn8.延迟环节TsesG)(9.不稳定环节G(s)=-K-180oG(s)=1/(-Ts+1)0~90oG(s)=-Ts+10~-90o121)(22swwssGnn12)(22swwssGnn0~180o0~-180o§4-4系统开环频率特性的绘制)12)(1()12)(1()()(2222212222211111110sTsTsTssssKasasasbsbsbsbsHsGnnnnmmmm系统开环传函的一般形式为：一、系统开环传函幅频特性系统开环传函由多个典型环节相串联：12()()()()()rGsHsGsGsGs那麽，系统幅相特性为：1212112()()()12[()()()]12()1()()()()()()()()()()()()[]rrrkkrjwjwjwrjwwwrrjwiiGjwHjwGjwGjwGjwAweAweAweAwAwAweAwe即开环系统的幅频特性与相频特性为：11()()()()riirkkAwAwww开环系统的幅频特性是各串联环节幅频特性的幅值之积；开环系统的相频特性是各串联环节相频特性的相角之和。二、系统开环频率特性曲线的绘制1、系统(标准型)简单吗？2、比较复杂2、比较简单则写出G(jw)＝Re+jIm3、分别求出w=0+、+∞时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点5、勾画出w=0+→+∞时G(jw)的大致曲线（当然，越精确越好）注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。例1某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。1212()0(1)(1)KGsKTTTsTs、、例2某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。123123()0(1)(1)(1)KGsKTTTTsTsTs、、、例3某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。1212()0(1)(1)KGsKTTsTsTs、、例4某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。1()01sGsTTs、例5某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。2(1)()0(1)KsGsKTsTs、、例6某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。(-1)()0(1)KsGsKTsTs、、例7某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。41234123(1)()0(1)(1)(1)KTsGsKTTTTTsTsTs、、、、例8某单位反馈系统的开环传函为：试概略绘制系统开环幅相图。1212(1)()0(1)(1)KsGsKTTsTsTs、、、4-5最小相位系统和非最小相位系统（1）如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统，如（2）系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零点或极点,则该系统称为非最小相位系统。开环传递函数含有延迟环节的系统也称非最小相位系统。（4）非最小相位一般由两种情况产生:系统内包含有非最小相位元件(如延迟因子);内环不稳定。（5）最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(Bode定理)（3）具有相同幅值的两个系统,由0时,最小相位系统的相角迟后最小,而非最小相位系统的相角迟后则较大。1:0901oTs1:180901ooTs1:090oTs1:180270ooTs对数相频特性记为单位为分贝（dB)对数幅频特性记为单位为弧度（rad)如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度），合称为伯德图(Bode图)。4-6典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)L(w)(dB)0.010.1110wlgw2040－40－20......0(w)0.010.1110wlgw45o90o－90o－45o......0o对数幅频特性对数相频特性1.比例环节(K)KLlog20)(0)(K02.积分环节(G(s)=1/s)jjG1)()(lg201log20)(dBjL90)(3.微分环节(G(s)=s))(lg20log20)(dBjLjjG)(90)(4.惯性环节(G(s)=1/(Ts+1)))(])(1[lg2011lg20)(2dBTTjL)()(Tarctg1()1GjwjT5.一阶微分环节(G(s)=Ts+16.振荡环节121121)(2222sTsTswwssGnn707.001212rM707.00212nrww7.二阶微分1212)(2222sTsTswwssGnnnww8.滞后环节TsesG)(9.非最小相位环节与对应最小相位环节相比，对数幅频特性相同，对数相频特性关于实轴对称（-K除外）G(s)=-K-180oG(s)=1/(-Ts+1)0~90oG(s)=-Ts+10~-90o121)(22swwssGnn12)(22swwssGnn0~180o0~-180o一、系统开环对数频特性4-7系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制系统开环传函由多个典型环节相串联：12()()()()()rGsHsGsGsGs那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：111()20lg[()][20lg()]()()rriiiirkkLwAwAwww112()1()()()()()()[]rkkrrjwiiGjwHjwGjwGjwGjwAwe系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环节的相位之和。因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的折线。因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲线。控制系统一般由多个环节组成