第1页(共21页)初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点:1、二次根式:形如)0(aa的式子。①二次根式必须满足:含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。②非负性2、最简二次根式:满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。3、化最简二次根式的方法和步骤:(1)如果被开方数含分母,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。(2)如果被开方数含能开得尽方的因数或因式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、二次根式有关公式(1))0()(2aaa(2)aa2(3)乘法公式)0,0(babaab(4)除法公式)0,0(bababa4、二次根式的加减法则:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。5、二次根式混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的。常考题:一.选择题(共14小题)1.下列二次根式中属于最简二次根式的是()A.B.C.D.2.式子有意义的x的取值范围是()A.x≥﹣且x≠1B.x≠1C.D.3.下列计算错误的是()A.B.C.D.4.估计的运算结果应在()A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间第2页(共21页)5.如果=1﹣2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥6.若=(x+y)2,则x﹣y的值为()A.﹣1B.1C.2D.37.是整数,则正整数n的最小值是()A.4B.5C.6D.78.化简的结果是()A.B.C.D.9.k、m、n为三整数,若=k,=15,=6,则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确?()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n10.实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为()A.7B.﹣7C.2a﹣15D.无法确定11.把根号外的因式移入根号内得()A.B.C.D.12.已知是正整数,则实数n的最大值为()A.12B.11C.8D.313.若式子有意义,则点P(a,b)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.已知m=1+,n=1﹣,则代数式的值为()A.9B.±3C.3D.5二.填空题(共13小题)15.实数a在数轴上的位置如图所示,则|a﹣1|+=.16.计算:的结果是.17.化简:(﹣)﹣﹣|﹣3|=.18.如果最简二次根式与是同类二次根式,则a=.19.定义运算“@”的运算法则为:x@y=,则(2@6)@8=.20.化简×﹣4××(1﹣)0的结果是.21.计算:﹣﹣=.第3页(共21页)22.三角形的三边长分别为,,,则这个三角形的周长为cm.23.如果最简二次根式与能合并,那么a=.24.如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是.(结果保留根号)25.实数p在数轴上的位置如图所示,化简=.26.计算:=.27.已知a、b为有理数,m、n分别表示的整数部分和小数部分,且amn+bn2=1,则2a+b=.三.解答题(共13小题)28.阅读下列材料,然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:(一)==(二)===﹣1(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简:====﹣1(四)(1)请用不同的方法化简.(2)参照(三)式得=;‚参照(四)式得=.(3)化简:+++…+.第4页(共21页)29.计算:(﹣1)(+1)﹣(﹣)﹣2+|1﹣|﹣(π﹣2)0+.30.先化简,再求值:,其中.31.先化简,再求值:,其中x=1+,y=1﹣.32.先化简,再求值:,其中.33.已知a=,求的值.34.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答:+=+=+﹣a=﹣a=;乙的解答:+=+=+a﹣=a=.请你判断谁的答案是错误的,为什么?35.一个三角形的三边长分别为、、(1)求它的周长(要求结果化简);(2)请你给一个适当的x值,使它的周长为整数,并求出此时三角形周长的值.36.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:…①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积).而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:s=…②(其中p=.)(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积s;(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.37.已知:,,求代数式x2﹣xy+y2值.38.计算或化简:(1);第5页(共21页)(2)(a>0,b>0).39.先阅读下列的解答过程,然后再解答:形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使a+b=m,ab=n,使得+=m,=,那么便有:==±(a>b).例如:化简.解:首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12即+=7,×=∴===2+.由上述例题的方法化简:.40.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn.∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a=,b=;(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:+=(+)2;(3)若a+4=,且a、m、n均为正整数,求a的值?第6页(共21页)初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2005•岳阳)下列二次根式中属于最简二次根式的是()A.B.C.D.【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式;C选项的被开方数中含有分母;因此这三个选项都不是最简二次根式.【解答】解:因为:B、=4;C、=;D、=2;所以这三项都不是最简二次根式.故选A.【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式.2.(2013•娄底)式子有意义的x的取值范围是()A.x≥﹣且x≠1B.x≠1C.D.【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.【解答】解:根据题意得,2x+1≥0且x﹣1≠0,解得x≥﹣且x≠1.故选A.【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.3.(2007•荆州)下列计算错误的是()A.B.C.D.【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断.【解答】解:A、==7,正确;B、==2,正确;C、+=3+5=8,正确;D、,故错误.故选D.【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式.第7页(共21页)二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数,根指数与被开方数不变.4.(2008•芜湖)估计的运算结果应在()A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间【分析】先进行二次根式的运算,然后再进行估算.【解答】解:∵=4+,而4<<5,∴原式运算的结果在8到9之间;故选C.【点评】本题考查了无理数的近似值问题,现实生活中经常需要估算,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.5.(2011•烟台)如果=1﹣2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0,从而得出a的取值范围即可.【解答】解:∵,∴1﹣2a≥0,解得a≤.故选:B.【点评】本题考查了二次根式的化简与求值,是基础知识要熟练掌握.6.(2009•荆门)若=(x+y)2,则x﹣y的值为()A.﹣1B.1C.2D.3【分析】先根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可求出x、y的值,再代入代数式即可.【解答】解:∵=(x+y)2有意义,∴x﹣1≥0且1﹣x≥0,∴x=1,y=﹣1,∴x﹣y=1﹣(﹣1)=2.故选:C.【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质:概念:式子(a≥0)叫二次根式;性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.7.(2012秋•麻城市校级期末)是整数,则正整数n的最小值是()A.4B.5C.6D.7【分析】本题可将24拆成4×6,先把化简为2,所以只要乘以6得出第8页(共21页)62即可得出整数,由此可得出n的值.【解答】解:∵==2,∴当n=6时,=6,∴原式=2=12,∴n的最小值为6.故选:C.【点评】本题考查的是二次根式的性质.本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方,若能则为答案.8.(2013•佛山)化简的结果是()A.B.C.D.【分析】分子、分母同时乘以(+1)即可.【解答】解:原式===2+.故选:D.【点评】本题考查了分母有理化,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.9.(2013•台湾)k、m、n为三整数,若=k,=15,=6,则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确?()A.k<m=nB.m=n<kC.m<n<kD.m<k<n【分析】根据二次根式的化简公式得到k,m及n的值,即可作出判断.【解答】解:=3,=15,=6,可得:k=3,m=2,n=5,则m<k<n.故选:D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键.10.(2011•菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为()A.7B.﹣7C.2a﹣15D.无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置,得出a的取值范围,然后求出(a﹣4)和(a﹣11)的取值范围,再开方化简.【解答】解:从实数a在数轴上的位置可得,5<a<10,所以a﹣4>0,a﹣11<0,则,=a﹣4+11﹣a,第9页(共21页)=7.故选A.【点评】本题主要考查了二次根式的化简,正确理解二次根式的算术平方根等概念.11.(2013秋•五莲县期末)把根号外的因式移入根号内得()A.B.C.D.【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答.【解答】解:∵成立,∴﹣>0,即m<0,原式=﹣=﹣.故选:D.【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键.二次根式成立的条件:被开方数大于等于0,含分母的分母不为0.12.(2009•绵阳)已知是正整数,则实数n的最大值为()A.12B.11C.8D.3【分析】如果实数n取最大值,那么12﹣n有最小值;又知是正整数,而最小的正整数是1,则等于1,从而得出结果.【解答】解:当等于最小的正整数1时,n取最大值,则n=11.故选B.【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时,n取最大值.13.(2005•辽宁)若式子有意义,则点P(a,b)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0,对a、b的取值范围进行判断.【解答】解:要使这个式子有意义,必须有﹣a≥0,ab>0,∴a<0,b<0,∴点(a,b)在第三象限.故选C.【点评】本题考查二次根式有意义的条件,以及各象限内点的坐标的符号.14.(2013•上城区一模)已知m=1+,n=1﹣,则代数式的值为()A.9B.±3C.3D.5【分析】原式变形为,由已知易得m+n=2,mn=(1+)(1﹣)=﹣1,然后整体代入计算即可.第10页(共21页)【解答】解:m+n=2,mn=(1+)(1﹣)=﹣1,原式====3.故选:C.【点评】本题考查了二次根式的化简求值:先把被开方数变形,用两个数的和与积表示,然后利用整体代入的思想代入计算.二.填空题(共13小题)15.(