浅谈分类讨论思想及其应用

1浅谈分类讨论思想及其应用杨凌高新中学王旭2010-1-12分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境.一、分类讨论思想的概念由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.二、分类讨论的原则从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.1.同一性原则同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I,niAi1是I的子集,并以此分类,且A1∪A2∪…An=I,则称这种分类（A1,A2…An）符合同一性原则.比如,我们若把实数R分成正实数R+与负实数R﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R=R+∪R﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用：例1：已知直线l:01sin4yx，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围.分析：直线l的方程中y的系数是sin，而sin的值域是1,1，sin值可取零，但sin=0时斜率不存在，故视sin为研究对象I1,1，01A，1,00,12A，A1,A2都是I的子集，且A1∪A2=I,满足同一性原则,作如下分类讨论：2(1)当sin=0,即θ=kπ（kZ）,直线l的斜率不存在,倾斜角α=2(2)当sin≠0,即θ≠kπ（kZ）,直线l的斜率k=sin4,并且由-1≦sin≦0,0≦sin≦1,得出﹣1≧sin1＞﹣∞,﹢∞＞sin1≧1,k的取值范围为,44,直线倾斜角α取值范围为4,4arctgarctg例2：已知集合A=xx2－ax+4=0,xR,aR,B=xx3－5x2+2x+8=0,bR,若A,求a的取值范围.分析：由于xx3－5x2+2x+8=0,bR=x(x+1)(x－2)(x－4)=0=﹣1,2,4,且A,则集合A可能是空集、单元素集合和两个元素集合,而集合A的元素是一个一元二次方程的解集,即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根,因此要分三类讨论,求出a的取值范围,此题研究对象是一元二次方程x2－ax+4=0的根的判别式△,分成大于零,小于零和等于零这三种情况,这种分类符合同一性原则,没有遗漏任一情况.(1)当△=a2－16＜0,即﹣4＜a＜4时,因为A=ø,满足A,所以a4,4；(2)当△=0,即a=±4时,由A得a=4；当△＞0,即a＞4或a＜﹣4时,AB综上可得,当a4,4时,A2.互斥性原则由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集I来说,A1,A2…An在满足A1∪A2∪…∪An=I的前提下,并不能保证Ai∩Aj=（i,jn,ij）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象I,Ai(i=1…n)是I子集,且作为分类的标准,若Ai∩Aj=（i,jn,ij）,则称这种分类符合互斥性原则,互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来.例3：某车间有10名工人,其中4人仅会车工,3人仅会钳工,另外三人车工、钳工都会,现需选出6人完成一件工作需要车工、钳工各3人,问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工,因为6人会钳工,故有36C种选法,但这时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工,因此在选车工时,就无法3确定是从7人中选,还是从6人、5人、4人中选,同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类,因为有3人是全能的,故有四种不同的情况可能出现,具体如下：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含一名全能工人；（3）选出的6人中含二名全能工人；（4）选出的6人中含三名全能工人；故有2324233314233413233324132334133334PCCCCCCCCCCCCCCCC24924133323143334333333CCCCCCCCCC注意：选出的全能工人,既会车工,又会钳工,这两种情况也需分开来进行讨论,这种分类方法避免了重复出现的机会,不遗漏任一情况,一般地,互斥性原则在排列组合中应用十分广泛.3.层次性原则如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位.例4：解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1＜0aR分析：这是一个含参数a的不等式,它不一定是二次不等式,故首先应对二次项系数a进行分类,a=0和a≠0.当a≠0时,不等式是一元二次不等式,不等式的解集可能是两根之外,也可能处于两根之间,故又须分a＞0和a＜0两种,确定了这一层后,又会出现1与a1的大小问题,又需将a与1之间进行分类,分三层讨论,具体过程如下：（1）当a=0时,原不等式化为101xx（2）当a≠0时,原不等式化为a(x－1)(x－a1)＜0i.若a＜0,则化为(x－1)(x－a1)＞0x＞1或x＜a1ii.若a＞0,则化为(x－1)(x－a1)＜0a).a＞1时,a1＜1a1＜x＜1；b).a=1时,a1=1解是空集c).0＜a＜1时,a1＞11＜x＜a1由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一4次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.三、分类讨论的步骤同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步：（1）确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；（2）正确选择分类标准,合理分类；（3）逐类、逐段分类讨论；（4）归纳并做出结论.下面从一个具体的例子出发来分析分类讨论的四个步骤.例5：设kR,问方程(8－k)x2+(k－4)y2=(8－k)(k－4)表示什么曲线？分析：第一步,确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数k,所以将k视为研究对象,k的取值范围是全体实数R.第二步,选择正确分类标准,合理分类.当k≠4且k≠8时,方程可变形为18422kykx,(k－4)与(8－k)的正负会引起曲线有不同的类型,故“4”和“8”是一个分界点,而k－4=8－k与k－4＞0,8－k＞0,但k－4≠8－k所表示的曲线也是不一样的,因此,“6”也是一个分界点,所以对k进行正确的分类应为：(﹣∞,4)，4，(4,6)，6，(6,8)，8，(8,﹢∞)第三步,逐类、逐段分类讨论(1)k=4时,方程变为4x2=0,即x=0表示直线(2)k=8时,方程变为4y2=0,即y=0表示直线(3)k≠4且k≠8时,原方程化为18422kykxi.当k＜4时：表示双曲线；ii.当4＜k＜6时：表示椭圆；iii.当k=6时：表示圆；iv.当6＜k＜8时：表示椭圆；v.当k＞8时：表示双曲线第四步,归纳并做出结论当k＜4或k＞8时,方程表示双曲线；当4＜k＜6或6＜k＜8,方程表示椭圆；当k=4或k=8时,方程表示直线；当k=6时,方程表示圆。通过上例分析,我们可以看出,分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第二要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性.