相似三角形——比例线段

相似三角形——比例线段适用学科初中数学适用年级九年级适用区域沪科版课时时长（分钟）60知识点比例线段的概念、比例的基本性质、黄金分割教学目标1、理解并掌握两条线段的比和比例线段的概念，并运用比例线段解决简单问题；2、理解比例的基本性质，并掌握其应用；3、理解并掌握黄金分割比及其相关概念，并学会应用。教学重点1、会应用比例的基本性质解决问题；2、掌握黄金分割的实际应用。教学难点1、比例的基本性质；2、运用黄金分割解决实际问题。教学过程一、课堂导入1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？二、复习预习1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？2、比与比例有什么区别？3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？答案：1、2：（—3）=—23；—4：6=—46=—23；2—3=—46，2，—3，—4，6四个数成比例。注意四个数字的书写顺序。2、比是一个值；比例是一个等式。3、a:b=c:d即ab=cd，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。三、知识讲解考点1比例线段一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即ab=cd，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如dcba＝是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。acakbckdbdbd考点2比例的性质1、比例的基本性质：比例式化积、积化比例式。bcaddcba2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。(k=1、2、3…)3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。若)0(nfdbnmfedcba则banfdbmeca。4、比例中项：若cabcabcbba,,2是则即的比例中项。考点3在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果ACBCABAC，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。其中618.01:215:ACAB即618.0ABACABC四、例题精析【例题1】【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。问：这四条线段是否成比例？为什么?【答案】这四条线段成比例∵a=10mm=1cm∴ac＝12，db＝36＝12∴ac＝db，即线段a、c、d、b是成比例线段。【解析】直接利用比例线段的概念解答。【例题2】【题干】已知dccbaadcba:,求证【答案】证明:∵dcba∴cdab∴cdcaba∴dccbaa【解析】利用比例的合比性质证明。【例题3】【题干】根据下列条件，求a:b的值。（1）2a＝3b；（2）a5=b4。【答案】解：（1）23ba；（2）45ba。【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。【例题4】【题干】已知ab=cd，判断下列比例式是否成立，并说明理由。（1）a＋bb=c＋dd；（2）ab=a＋cb＋d。【答案】解：（1）成立，理由如下：dcba11dcba即dddcbbbaddcbba（2）成立，理由如下：设kdcba，则dkcbka,kdbdbkdbckbkdbca)(dbcaba【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质；（2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。【例题5】【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的黄金分割点。【答案】证明：设AB=2a，那么在aaaAEABBEBAERt5)2(,2222中aAHABBHaAEBEAFAHaBEEF)53(,)15(,5，,2152)15(aaABAH,215)15()53(aaAHBH因此,AHBHABAH点H是AB的黄金分割点。【解析】利用黄金分割点的定义证明。五、课堂运用【基础】1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝45cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。（2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？【答案】解：（1）a、b、c、d不是成比例线段，理由如下：∵b＝2cm=20mm,c＝45cm=8mm∴32128,232030dcba∴dcba∴a、b、c、d不是成比例线段，但是a、b、d、c成比例线段。（2）∵a、b、c、d是比例线段∴4386ba∴4386ba∴4324dba∴cmd32即线段d的长度是32cm。【解析】利用成比例线段的概念解答。2、若2x-3yx+y=12，求yx。【答案】解：∵2x-3yx+y=12∴x+y=2(2x-3y)∴x+y=4x-6y∴3x=7y∴73xy【解析】根据比例的基本性质，利用方程思想解答。【巩固】1、若x2-3xy+2y2=0，求yx=。【答案】21或1【解析】：∵x2-3xy+2y2=0∴（x-y）（x-2y）=0∴x=y或x=2y∴21xy或1。根据比例的基本性质，利用方程思想解答。2、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？【答案】解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则3519000000s359000000s=315000000(mm)即s＝315(km)量得图中28,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。答：基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答，要注意设实际距离为s，求角度时要注意方位。()abbccakabccab、、都是实数【拔高】1、，则k=（）A、2B、-1C、2或-1D、无法确定【答案】C【解析】当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a,c+a=-b，故1bcaacbcba；当a+b+c≠0时，利用等比性质2)(2cbacbabcaacbcba，所以k=-1或2。2、（1）x:y:z＝2:3:4，求x－y＋z2x＋3y－z的值。（2）已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。【答案】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k，则x－y＋z2x＋3y－z=319343322432kkkkkkkk；（2）设a=3k,b=4k,c=5k，则2a＋3b－4c＝2×3k+3×4k-4×5k=-2k=-1,所以k21故2a－3b＋4c=2×3k-3×4k+4×5k=14k=7。【解析】利用设比的方法进行解答。课程小结1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质；2、比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。3、比例线段在实际问题中的应用，体会数学在生活中广泛的应用价值。