控制工程第5章系统的频率特性

频域性能分析引言本章是通过系统的频率响应在频率域上分析系统的动态性能，确定系统动态性能与输入信号频率的关系；通过频率特性分析，可以获得系统在频率域上的性能指标，频域性能指标与时域性能指标有着直接或间接的联系，因为两者都是系统动态性能的评价指标。通过频率特性分析，可以清晰地揭示系统的某些缺陷，进而找出原因和改进措施，并适当加以改进。如机床的自激振动（共振）问题会导致工件加工误差的增大；车体、飞机机体的振动原因定位；机械振动的主动控制问题等。解决这些问题都需要对系统进行频率特性分析。本章的另一主要内容是学习各种频率特性图的规律及绘制方法。一方面用于系统频响特性分析，另一方面为系统的稳定性分析和设计及校正打下基础。22:46:582本章主要内容频率特性的概念、含义及表示方法；频率特性的图形描述；对数坐标图（Bode图）极坐标图（Nyquist图）对数幅-相图（Nichols图）最小相位系统和非最小相位系统；闭环频率特性与频域性能指标；系统辨识（实验法确定系统频率特性的过程）。22:46:583本章学习要求、重点、难点学习要求掌握频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函数求频率特性。掌握频响特性的图形描述方法：Bode图、Nyquist图及其绘制方法。掌握典型环节的Bode图和Nyquist图的特点和绘制方法。掌握最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质。掌握频域性能指标的含义及求法。了解用开环频率特性求闭环频率特性的方法；了解开环增益的求法。了解实验法确定系统频率特性的方法和过程（系统辨识）。22:46:584本章学习要求、重点、难点本章重点频率响应和频率特性的概念和含义，会根据传递函数求频率特性；典型环节的Bode图和Nyquist图及其特点；最小相位系统和非最小相位系统的概念及本质；频域性能指标的含义及求法。本章难点Bode图、Nyquist图及其绘制方法。22:46:585本章作业P146～P148习题5-15-2⑧（要用到半对数坐标纸）5-3⑤5-6本章作业17周星期三交（机设）本章作业17周星期二交（车辆）22:46:5861.频率特性的概念2.频率特性的含义及特点3.机械系统动刚度的概念（略）4.频率特性的表示方法22:46:5875-1频率特性1.频率特性的概念频率响应：在输入为正弦（或余弦）信号时，系统的稳态响应称之为系统的频率响应。频率特性：系统的频率响应随输入信号频率变化的特性，或者说，系统对正弦信号的稳态响应特性叫频率响应特性，简称频响特性或频率特性。采用频率响应对系统的动态特性进行分析称为频率响应法。频率响应法是经典控制理论中最有力的方法。频率响应法的用途：研究系统的频率特性；分析系统的稳定性；用于系统的设计与校正等。【注】频率响应法是建立在线性系统的频率保持性的基础上，因此，频率响应法主要用于线性系统的分析，对非线性系统只能有条件地使用。22:46:5885-1频率特性线性系统的频率保持性当给线性系统输入一正弦信号，则系统的稳态响应仍然是与输入同频率的正弦信号，即22:46:589LTISLTIS=LinearTime-InvariantSystem()sin()rtAtn())si(Btct稳态响应瞬态响应f(t)=Asin(ωt)mf(t)—力x(t)—位移kB单自由度有阻尼振动系统力学模型ωt-A0Af(t)/x(t)x(t)=Bsin(ωt+φ)+瞬态响应φAB教材101页图5-2中的标注“φ”不对，应改成“φ/ω”，或将横坐标标尺改成“ωt”。5-1频率特性线性系统的频率保持性设线性定常系统的传递函数为G(s)，当输入为正弦信号r(t)=Asinωt时，可以推导出（参见教材P100）系统的稳态响应为Css(t)=Bsin(ωt+φ)，其中：22:46:5810()BAGj()()()()jsjGjGsGje称为正弦传递函数Im()()arctanRe()GjGjGj从上面结果可以看出，稳态响应的幅值B、输出与输入的相位差一般要随着正弦输入信号的频率的变化而变化，正是这一变化导致了线性时不变系统不能准确、快速地响应输入信号（时域响应上表现为输出信号波形与输入信号波形不同或滞后），产生误差。为了减小误差，我们需要知道B和随是如何变化的，变化的原因是什么，怎样才能快速准确地响应。为了表示B和随变化，我们写成B()和()。5-1频率特性系统的频率特性可以从两方面来衡量：幅频特性相频特性幅频特性：正弦输入信号的稳态响应幅值与输入信号幅值之比随输入信号频率变化的特性叫作幅值频率响应特性，简称幅频特性，记作M()。也称为动态增益（或称动态灵敏度）。即22:46:5811=正弦信号稳态响应幅值幅频特性正弦输入信号幅值()()()BMGjA5-1频率特性相频特性：正弦输入信号的稳态响应与输入信号之间的相位差（或称相移）()随输入信号频率变化的特性叫相位频率响应特性，简称相频特性，记作()。（时域上表现为输出相对于输入的时移。）幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特性或频率特性。=-相频特性正弦信号稳态响应相角正弦输入信号相角22:46:5812Im()()()arctanRe()GjGjGj5-1频率特性系统频率特性的获得解析法令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳态解）。可以利用拉氏变换求解；利用频率响应函数；实验法输入正弦信号，测量稳态输出。22:46:58135-1频率特性利用频率响应函数求频率特性频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出的付立叶变换C(j)与输入的付立叶变换R(j)之比，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传递函数，记作G(j)。即22:46:5814【注】：G(j)是频率的函数，因为虚数单位j是常数，写成G(j)只是为了说明频响函数与传递函数的关系，与G()的意思一样。()()()CjGjRj5-1频率特性频响函数的求法按定义由微分方程求得。即对描述线性定常系统的微分方程两边同时做傅里叶变换得到。如果传递函数G(s)已知，以j代替传递函数G(s)中的s得到。本课程主要采用第二种方法。22:46:5815()()Re[()]Im[()]()=()cos[()]()sin[()]jGjGjjGjMeMjM5-1频率特性G(j)一般为复变函数，可以写成：22:46:5816实部实频特性虚部虚频特性模相角我就是幅频特性表达式我就是相频特性表达式22()()()Re[()]Im[()]()CjMGjGjGjRj()Im[()]()()arctan()Re[()]CjGjGjRjGj5-1频率特性线性定常系统的微分方程、传递函数和频响函数之间的转换关系。22:46:5817系统微分方程频响函数传递函数系统的微分方程、传递函数和频响函数之间的相互转换关系jsddtjddts5-1频率特性2.频率特性的含义及特点①频率特性是系统对正弦输入信号的稳态响应特性。通过分析在输入不同频率谐波时系统的稳态响应可以揭示系统的动态特性。不能定量反映系统的瞬态响应特性（间接定性反映）。②系统的频率特性是系统脉冲响应函数g(t)的Fourier变换，即③在经典控制理论范畴，频域分析法较时域分析法简单，特别是对于高阶系统的分析。④可以方便地利用试验方法获得系统的频率特性，进而获得系统的数学模型。()[()]()djtGjFgtgtet22:46:58185-1频率特性例1：求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−π/4)通过传递函数为G(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频特性分别为频响函数幅频特性相频特性1()10.005Gjj21|()|1(0.005)Gj00.005()arctanarctan11arctan(0.005)22:46:5819例15-1频率特性该装置是一线性定常系统，设稳态响应为yss(t)，根据线性定常系统的频率保持性和叠加性得到yss(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t−π/4+2)22:46:5820所以稳态响应为01011021|()|0.50.4991(0.00510)yGjx1(10)arctan(0.00510)2.860.05(rad)020210021|()|0.20.1791(0.005100)yGjx2(100)arctan(0.005100)26.570.464(rad)ss()0.499cos(100.05)0.179cos(1001.249)yttt可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节的频响特性）。5-1频率特性本例题也可以采用第4章介绍的求时间响应的方法获得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分解出其中的稳态响应。而利用频响函数可直接求出稳态响应。22:46:5821教材103页最后一行：“稳态输出响应”应为“时间响应”。1200()[()]0.499cos(100.05)0.179cos(1001.249)0.555tytLYstte稳态响应瞬态响应5-1频率特性4.频率特性的表示方法函数表示法：即利用前述各种方法求出频率特性表达式，并以此表示频率特性。频率特性（频响函数）：幅频特性：相频特性：()()()Re[()]Im[()]|()|jsjGjGsGjjGjGje22()|()|Re[()]Im[()]MGjGjGj正弦信号稳态响应幅值正弦输入信号幅值Im[()]()()arctanRe[()]GjGjGj正弦信号稳态响应相角-正弦输入信号相角22:46:58225-1频率特性4.频率特性的表示方法图形表示法普通坐标图：两幅图，一幅为幅频特性图，另一幅为相频特性图。对数坐标图(Bodeplot)：两幅图，一幅表示幅频特性，另一幅表示相频特性。极坐标图(Nyquistplot)：用一幅图表示频率特性。对数幅-相图(Nicholsplot)：用一幅图表示频率特性。上述各种图形表示方法，各有各的特点，可根据需要选用。我们可以使用这些频率特性图研究系统的频率特性、稳定性以及系统的设计和校正等。22:46:58230102030405060708090100-200-150-100-500ω(rad/s)φ(ω)010203040506070809010000.511.5|G(ω)|ω(rad/s)频响特性图普通坐标图：|G(j)|−或|G(f)|−f图叫幅频特性图（或叫幅频特性曲线）；()−或(f)−f）图叫相频特性图（或叫相频特性曲线）。纵、横坐标皆线性分度。例如G(s)=25/(s2+4s+25)的频响特性图普通坐标图特点：主要优点：简单易懂。主要缺点：横坐标频率分辨率受限。22:46:5824-40-20020-180-135-90-450L(ω)/dBω(rad∙s‒1)φ(ω)/ºωn10ωn0.1ωn1.对数坐标图2.各种典型环节的伯德图3.绘制系统伯德图的一般步骤4.系统类型和对数幅频曲线之间的关系（略）22:4625伯德（H.W.Bode)1905~1982美国Bell实验室著名科学家1.对数坐标图对数坐标图又称伯德(Bode)图。它包括两幅图，一幅是20lg|G(j)|−图，叫对数幅频特性图；另一幅是()−图，叫对数相频特性图。横坐标采用常用对数lgω分度(但仍以ω标注)；纵坐标20lg|G(j)|和()采用线性分度。20lg|