常用逻辑用语复习小结(精华)

2常用逻辑用语知识是进行数学推理和思维必不可少的基本知识.通过本章的学习,使我们体会到逻辑用语的严谨性、准确性及其中蕴含的一些思维规律,甚至有些同学会认为我们好像是在“咬文嚼字”，而且有些思维是形式化的在进行，其实这种训练可以有助于我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.常用逻辑用语复习小结常用逻辑用语知识的学习，我们要充分品味逻辑用语的严谨性、准确性和其中蕴含的思维规律，但又不要刻意追求那些形式化又无实际意义的东西的推敲，贵在思维的熏陶。3常用逻辑用语复习小结本章知识结构:常用逻辑用语命题及其关系全称量词存在量词充分条件必要条件充要条件简单的逻辑联结词:且、或、非四种命题:原命题、逆命题、否命题、逆否命题.1.原命题与逆否命题同真同假.2.证明一个命题,可以考虑证它的逆否命题来间接证明.1.pq说p是q的充分条件,q是p的必要条件.2.pq说p与q互为充要条件.充要条件的探求是学好数学的基本功.知道命题的特征.能准确写出命题的否定.重要考点4四种命题形式及其关系注:(1)“互为”的;(2)原命题与其逆否命题同真同假.(3)逆命题与否命题同真同假.原命题若p,则q逆否命题若q,则p否命题若p,则q逆命题若q,则p互逆互否互否互逆互为逆否同真同假5二、充要条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断(2)从命题的角度去理解．设原命题为“若p，则q”，则①若原命题为真，则p是q的．②若逆命题为真，则p是q的．③若原命题和逆命题都为真，则p是q的.④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的.⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的．⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的.充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分件既不充分也不必要条件(1)从概念的角度去理解．①若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若pq，则p是q的充要条件．⑧若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件．④若pq，且qp，则称p是q的必要不充分条件．⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件6(3)从集合的角度去理解．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则①若AB，则p是q的．②若BA，则p是q的．③若A=B，则p是q的．④若AB且BA，则p是q的．⑤若BA且AB，则p是q的．⑥若AB且BA，则p是q的.充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件7同步练习1.A2.C3.B84.设p：实数x满足x2-4ax+3a20，其中a0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-80，且¬P是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．也就是pq且qp．化简条件p得，A={x|3axa,a0}化简条件q得，B={x|x-4或x≥-2}分析：本题可依据四种命题间的关系进行等价转化．解：由¬P是¬q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件，9•“或”•“且”•“非”BxAxxBA或BxAxBA且AxUxxA且⑵“p且q”─p、q同时为真才为真.注:⑴“p或q”─只要p、q中有一个为真就为真.(p、q同时为假才为假.)⑶“p”─p的全盘否定，p与p一真一假.1.逻辑联结词2.全称命题p:,()xMpx.即“全称命题”的否定是“特称命题”，反过来也一样.它的否定p:,()xMpx.另外,判断全称命题为假,只要找一个反例即可;10特别注意对一些词语的否定词语否定词语否定等于不等于任意的某个大于不大于所有的某些小于不小于且或是不是都是不都是至多有一个至少有两个至多有n个至少有(n+1)个至少有一个一个都没有至少有n个至多有(n-1)个“非p”─p的全盘否定.特别注意!11练习一:1.有下列四个命题:①“||3x若，则33xx或”的逆命题;②命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数”;③若有命题p：7≥7，q:ln2＞0,则p且q是真命题;④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真.其中真命题为()(A)①④(B)②③(C)②④(D)③④2.命题：“若220xx,则x≠–1且x≠2”的否命题是_______.3.已知Ryx,,且2yx,求证:yx,中至少有一个大于1.3答案D若220xx,则1x或2x.123.已知Ryx,,且2yx,求证:yx,中至少有一个大于1.法二:假设yx,均不大于1，即11,xy≤且≤2xy则≤，这与已知条件2yx矛盾yx,中至少有一个大于1法一:假设yx,均不大于1，即11,xy≤且≤2xy则≤，这说明原命题的逆否命题成立∴原命题成立.13练习2练习1.设0a,b,c1，求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a①641又∵0a,b,c1∴2(1)10(1)24aaaa≤同理：1(1)4bb≤1(1)4cc≤以上三式相乘:(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴结论成立41证：设(1a)b,(1b)c41,(1c)a4114证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+ca0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0练习2.已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0幻灯片切换15练习二1.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的()(A)充分条件不必要条件(B)必要条件不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.若不等式1x＜a成立的充分条件是40x，则a的取值范围是.3.设集合{(,),},{(,)20},UxyxRyRAxyxym{(,)0Bxyxyn≤求证:“点P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m-1且n5”3答案Aa≥316证明:∵点P(2,3)∈A∩(CUB)P(2,3)∈A且P(2,3)∈CUB3.设集合{(,),},{(,)20},UxyxRyRAxyxym{(,)0Bxyxyn≤求证:“点P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m-1且n5”.∴“点P(2,3)∈A∩(CUB)”的充要条件是“m-1且n5”2230230mn即m-1且n517练习三:1.已知命题p:方程2320xx的根是x=2;命题q:方程2320xx的根是x=1,则命题pq或为____________.2.写出命题“a、b、cR，若122bax，122cby，122acz，则x、y、z中至少有一个不小于0”的否定为____________________.3.设命题p：函数)161lg()(2axaxxf的定义域为R；命题q：不等式axx112对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.3答案方程2320xx的根一定是x=2或一定是x=1a、b、cR，若221xab，221ybc，221zca，则x、y、z三个都小于0”183.解：命题p为真命题21()lg()16fxaxxaR函数的定义域为22010116104aaxxaxa对任意实数均成立2.a2.pa命题为真命题211qxax又命题为真命题对一切正实数均成立21122(211)211xxaxxxxx对一切正实数均成立20,211,2112,1.(8211xxxx由于分)1.(10qa命题的真命题≥分)∵根据题意知，命题p与q为有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时a的取值范围是[1，2].综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时实数a的取值范围是[1，2](12分)19例1．已知关于x的方程(1a)x2+(a+2)x4=0,aR求：1)方程有两个正根的充要条件,并写出它的一个充分不必要条件和必要不充分条件；2)方程至少有一个正根的充要条件。3)方程的两个根都大于1的充要条件。例题应用:20符号根问题：(抓三方面列不等式组)类别两正根两负根一正一负根充要条件2121,,xxxx1212000xxxx1212000xxxx120xx21根的分布x1≥x2kx1≤x2kx3kx4图像等价条件212120)(0)(0kabkkfkfyx0k1k2x1,x2∈(k1,k2)k1x1k2,k3x2k4yx0kyx0k0()02fkbka0()02fkbka区间根问题：(抓、顶点横坐标、端点值列不等式组)yx0k0)(kf22练习二1.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的()(A)充分条件不必要条件(B)必要条件不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.若不等式1x＜a成立的充分条件是40x，则a的取值范围是.3答案Aa≥3.3.已知0a,设命题:p函数xya在R上单调递减,:q不等式:21xxa的解集为R,若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围.2322()42(2)211,1()0fxxpxppcfcp已知函数在区间上至少存在一个实数，使得，求实数的取值范围。解析:上述命题的否定为:1,1()0cfc在区间上所有实数，使得恒成立42-2-4-55-11243.已知0a,设命题:p函数xya在R上单调递减,:q不等式:21xxa的解集为R,若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围.1aa0或21≤至少用三种方法！单恒成立，数形结合最简xax1|2|254.已知1:123xp,21:043qxx,求非p与非q对应的x的集合.注:关于含绝对值的不等式的可以根据绝对值的定义:()(0)xxxxx≥0,通过分类讨论转化为一般的不等式来分析.或者找等价式来转化:⑴(0)xaaaxa;⑵(0)xaaxaxa或