一元三次函数的图像性质研究

32()(0)fxaxbxcxda对函数的图像性质研究导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3）点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次.这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数32()(0)fxaxbxcxda的图象性质而得到它的一些主要的性质特点和结论，如：单调性、极值、最值等.这样，在考试中解题才会做到心中有数，得心应手.32()00fxaxbxcxdaa函数的图像当时(时同理)的图像与性质主要有以下三种情形xy图1o()fxxyo/()fx图2xyo()fx0xxyo/()fx0x图3xyo()fx1x2xxyo/()fx1x2x()fxxR图1中函数在严格递增,没有极值点;0();fxxRx图2中函数在严格递增,有一拐点12121212()()(,),(,),(),(),().fxxxxxxxxfxxxxfx图3中函数有两个极值点,在,321.()()31().(2,).(,2).(,0).(0,2)fxxxABCD广东函数是减函数的区间为例题选讲D点评：三次方的系数大于0，函数的单调区间两增一减，增区间的长度是无限的，减区间的长度是有限的，故不必动手便可得答案.322.()1,.(1)();21(2)()(,),.33fxxaxxaRfxfxa已知函数讨论函数的单调区间设函数在区间内是减函数求的取值范围解：22(1)()321,0,3,()0,fxxaxafx当即当时≤≤≥()fxxR在内单调递增.221,230,3,()0,.3aaafxx即当时由可求得两根为当2233().33aaaafxxx有在，与，时2233.33aaaax在，322.()1,.(1)();21(2)()(,),.33fxxaxxaRfxfxa已知函数讨论函数的单调区间设函数在区间内是减函数求的取值范围/21(2),()03312.33fx函数在，内递减说明有两个实根,且一个大于或等于,一个小于或等于//1()0,73.24()0,3faf有33.()311,10,.fxaxxxfxa函数对总有成立则(1)0,()31,1,1,()[2,4],0,0.afxxxfxfxa当时对于不恒成立/2/(2)0,()330,()0.1,1,(),()[2,4],20,()0.afxaxfxxfxfxaaafx当时无根且时不恒成立/211(3)01,()330,,,111,1,1,1(),()[2,4],20,()0.(0,1]afxaxaaxfxfxaaaaafxa当时由可得两根且时不恒成立/1111(4)1,()0,1,1,1111[1,][,1],();(,),(),11,1,(1)0()0,0,(1)04,1()04,4.afxaaaaxfxxfxaaaaxffafxfafaaa当时的两根还是与且与时时时只有与成立(因为这两点是函数最小值可能的产生处)才能恒成立由33.()311,10,.fxaxxxfxa函数对总有成立则4点评：作为一个填空题，此题还是有一定的难度的.用导数的手段解此题，要用导数来判断函数的单调性、极值、最值及两者之间的相互关系.同时此题还考查了函数恒成立的问题及分类讨论的思想等，因此考查的信息量还是比较大的，是个很好的题.如果把此题做成一个解答题，也同样是个好题，更能展现学生应用导数解决问题的基本能力.324.()31.(1)().(2)(1,)(2)(),.fxaxbxxxfxAmmyfxm已知在处取得极值求函数的解析式若过点可作曲线的三条切线求实数的取值范围略解：,323)()1(2/bxaxxf依题意有.0,1,0)1(,0)1(//baff.3)(3xxxf324.()31.(1)().(2)(1,)(2)(),.fxaxbxxxfxAmmyfxm已知在处取得极值求函数的解析式若过点可作曲线的三条切线求实数的取值范围3()3.fxxx)3,(,,2)2(0200xxxAm设曲线上的切点为不在曲线上可得点3/220000003()33,33,1xxmfxxxx整理得03322030mxx依题意有此方程有三个根.32000()233gxxxm令/200000()6600,1.gxxxxx得.23,0)1(,0)0(mgg