八年级数学分式运算(学生讲义)

以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导1阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展分式【同步教育信息】一.本周教学内容：分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算［知识与技能］1.知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；2.能用单项式除以单项式性质进行计算；3.能进行多项式除以单项式的计算；4.掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；5.会运用分式的基本性质进行约分和通分；6.熟练进行分式的加减乘除运算；7.掌握分式的乘方；8.会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。［教学过程］（一）知识点回顾1.同底数幂的除法法则：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为aaamnmn÷（m，n为正整数，mna，≠0）2.单项式除以单项式：是将系数及同底数幂分别相除，如果某个字母只在被除式里出现，则将该字母及其指数直接写到商里面。3.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。（注意：①不要漏项，即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同；②要注意商的符号，弄清多项式中每一项的符号是什么，相除时要带着符号与单项式相除。）4.①分式的概念：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式，其中A叫分式的分子，B叫分式的分母（注意：分式的典型特征是分式的分母中含有字母）②分式有意义的条件：分式的分母必须不等于零。③分式的值是零的条件：分母不等于零，分子等于零。④分式的基本性质：即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为ABAMBMABAMBM××，÷÷。（这里要求B≠0，M≠0）⑤约分：根据分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去，使分式变得简单。（注意：如果分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分；约分时一定要彻底。）⑥通分：即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式的加减奠定基础。（注意：通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。求最简公分母的一般方法是：a.如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；b.如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后把各个因式当作一个字母，再按照单项式的方法从系数、相同因式、不同因式三个方面确定）。5.分式的运算：①分式的乘除法：分式的乘除归根结底是乘法运算，实质就是分式的约分，其运算结果要化为最简分式，分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式分子，分母颠倒位置后，与被除式相除。以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导2阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展②分式的乘方：把分子、分母各自乘方，用式子表示为()ababnnn（n为正整数），乘方时一定要把分式加上括号。③分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即acbcabc±±；异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式再加减，计算结果要化成最简分式。④分式的混合运算：混合运算的顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号，计算结果化为最简分式。【典型例题】例1.计算：①()()aa2432÷②()()3332yxxy÷例2.已知36923241mnmn，，求的值。例3.下列运算正确的是（）A.()()62336332ababab÷B.()()21323332xyxyxy÷C.()()abcabab4534÷D.()(.)xyzxyxyz322052÷例4.计算：①324522axyaxy÷()②6325642322abcabcabc÷÷()()例5.计算：()()3595923453745553abababab÷以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导3阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展例6.已知一个多项式与单项式22xy的积是xyxy32212，试求该多项式。例7.在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式1305251018222xabxyybcaxya，，，，，，.。例8.当x取何值时，下列分式有意义？（1）xx12（2）11||x（3）412xx（4）xxx22例9.下列分式中x为何值时，分式的值为零？例10.不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。（1）0300205...xyxy（2）13141223xyxy以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导4阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展例11.将下列各式进行约分。①123232xyxynn②162032xxxx③2432xxyyyx()()④xyzxyz2222()()例12.通分①xabyabc6922，②aaaa1216122，例13.计算：（考查分式的乘除法和乘方）（1）mmmmm2244323÷（2）mnmnnmmnmnm2222()()·÷14.计算（考查分式的加减运算）（1）xyxyxyxyxyxy3223222222以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导5阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展（2）mnnmnmnmnm22（3）16416434922xyxyxyx（4）aa242例5.计算：（考查分式的混合运算）（1）()xyxxyyyx·2222（2）xxxxxxx223323122÷（3）()xxxxxxxx1346322÷例16.化简，求值。（1）xxxxxx111131234÷()，其中x31（2）()aaaaaaaa221444222÷，其中a满足aa2210以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导6阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展例17.已知abcabcbaccab0111111，求()()()的值。例18.计算：2002220021200220023200223232××例19.化简：11112123199100aaaaaaa()()()()()()…【模拟试题】一.计算1.()()()()xyyxxyxy7632÷÷2.()[()()]()aaaa324352322÷÷3.[()()]()()aaaa33432332·÷÷4.()[5()]551nn÷以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导7阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展5.()()5232223abcabc÷6.6325642322abcabcabc÷÷()()7.()()2412324332222ayayayay÷8.[()()]()xxxxx342122÷9.364423622xxxxxx÷10.()()()()abbaabb32245·÷·11.422mm12.21112aaa13.mmmm369232÷14.()xxxxxx2242÷15.()()1111112xx÷以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导8阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展16.()1214322aaaa·17.()xxxxxxx2224441221·二.化简求值1.()aaaaaaaa221444222÷，其中a满足aa22402.aaaaaaa22212122÷，其中a1123.12442222xyxyxyxxyy÷，其中xy211，4.已知aabb2260，求abbaabab22的值。5.已知mm15，求mm1的值。三.思考题1.若1231228121xyxxy，，则的值是多少？以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导9阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展2.若abcaababbcbccac1111，求的值。分式专题总结及应用一、识性专题专题1分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1化简(1)2610xyx;(2)21xyyx；例2计算2312212422aaaa【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3已知13xx,求2421xxx的值.例4已知22230xxyy，且xy，求2xxyxy的值.以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导10阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展例5已知345,xyyzzx求()()()xyzxyyzxz的值.例6已知,,xzacyzxy且abco,求111abcabc的值.例7已知1,xyzyzzxxy且0xyz,求222xyzyzxzxy的值.【解读策略】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8已知,345xyz求23xyxyz的值.例9已知,abbcackcab求21kk的值.分析只要求出k的值就可以了,由已知条件可得,,,abckbcakacbk将这三个等式可加后得到2()()abckabc,再通过讨论得到k的值.例10已知111,abab求baab的值.以英语为特色的中小学各科一对一、小班辅导11阳光地址：湘潭市岳塘区峨眉路乌龟塘3号（湘钢一中对面）阳光热线：0731-52377551努力今天成就明天快乐学习全面发展例11已知14xx,求下列各式的值.(1)221xx;(2)2421xxx.专题2与增根有关的问题例12如果方程11322xxx有增根,那么增根是.例13若关于x的方程2403xxax有增根,则a的值为()A.13B.–11C.9D.3例14a何值时,关于x的方程223242axxxx会产生增根?专题4