周益春材料固体力学习题解答习题一

1/5第一章习题1证明e恒等式jtksktjsistijkee[证明]jtksktjsktjsjtksjtksktjsjtksktjsitjsjtiskiitksktisjijtksktjsiiktkskijtjsjiitisiiistijkee33习题2证明若jiijjiijbbaa;，则0ijijba[证明]jiijjiijbbaa;jijiijijbaba，0pqpqijijjijiijijbabababa又因为所有的指标都是哑指标，ijijpqpqbaba，所以02aijbij，即0ijijba习题3已知某一点的应力分量xx，yy，zz，xy不为零，而0yzxz，试求过该点和z轴，与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。[解]如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ijij)(，可求得该面上的应力为sincos11)(xyxxjjsincos22)(yyyxjj033jjv)(由斜面正应力表达式jiijn，可求得正应力为22sinsincos2cosyyxyxxn？？剪应力为2cos2sin)(2122)()(xyxxyynnnσσσn习题4如已知物体的表面由0),,(zyxf确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷zyxp,,。试写出其边界条件。[解]物体表面外表面法线的方向余弦为2/5222222222,cos,cos,coszyxzzyxyzyxxffffznnffffynmffffxnl带入应力边界条件，3,2,1,,jinTjiji，得000pffffpffffpfzzzyyyxzxyzzyyyyxxxzzxyyxxx习题5已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx，yy，zz，xy，xz，yz，试求该点以柱坐标表示的应力分量。[解]如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：xyzrcosθsinθ0θ-sinθcosθ0z001注意由应力分量转换公式''''jnimijnm，求得cossin2sincos22xyyyxxrrcossin2cossin22xyyyxxzzzzrxyyyxxr)sin(coscossincossin22zzxyxzsincoscossinzxyzzr利用三角公式可将上面的式子改写为2sin2cos22xyyyxxyyxxrr2sin2cos22xyyyxxyyxxzzzz2cos2sin2xyyyxxr3/5zzxyxzsincoscossinzxyzzr习题6一点的应力状态由应力张量cbcabaij给定，式中，a，b，c为常数，是某应力值，求常数a，b，c，以使八面体面)eee(n32131上的应力张量为零[解]由斜面应力公式的分量表达式，ijij)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：031031031)(,)(,)(cbcaba解得21cba习题7证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1，2，3必为实根[证明]（1）设任意两个不同的主应力为k、l，对应的主方向为kn、ln。根据主应力定义有：kk(k)nσnσk，lkllnσnσ)(将以上两式分别点乘kn和ln再相减，得kllkklknnnnnσnnσnlklσ是对称应力张量，上式可改写为lknn)(lk0所以应力的三个主方向互相垂直（2）设任意两个不同的主应力为k、l，对应的主方向为),,(n111nmlk、),,(nl222nml00212121nnmmll,nnlk若1为复数，则2为其共轭复数，从而方向余弦),,(n111nmlk、),,(nl222nml互为共轭0212121nnmmll与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8证明球形应力张量Ιm在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为m[证明]球形应力张量332211eeeeeeΙmmmm，设任意斜面的方向余弦为nml,,n由斜面应力公式nσσ(n)，得321(n)eeeσmmmnml由斜面正应力公式nσσ(n)n，得mmnnmlσ)(222由斜面剪应力公式，得0)(2222222)()(mmnnnnmlσσσn习题9求应力偏量张量的不变量4/5[解]应力张量σ可分解为球形应力张量Ιm和应力偏量张量S，))(31(332211m应力偏量张量)()(mijijijSS，其主应力方程为nSnnS，即)3,2,1(0)(jSSnijniji上述方程存在非零解in的必要条件是系数行列式为零，即0333231232221131211nnnSSSSSSSSSSSS得到关于nS的三次代数方程，032213JSJSJSnnn其中1J，2J和3J分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量设1S，2S和3S为应力偏量张量的三个主值miiS，则033322113322111mSSSJ1332212122312231111333322222112113331131133322322222SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSJ3213332312322211312113SSSSSSSSSSSSJ习题11设rsΦ为二阶对称张量，证明由pmqnjmnipqijee,导出的应力一定满足无体力的平衡方程[证明]pmjqnjmnipqjijee,,又jjme,关于m，j反对称，pmjqn,关于m，j对称0,,pmjqnjmnipqjijee，即pmqnjmnipqijee,满足无体力的平衡方程，0,jij－忽略体力下的平衡微分方程习题12已知直角坐标系中各点的应力张量02020505333222221xxxxxxij，试求体积力分量[解]根据平衡微分方程3,2,1,,0,jiFijij，得对谁偏导的问题000zzzzyzxyyzyyyxxxzxyxxFzyxFzyxFzyx得体积力分量为0,2,132zyxFFxF习题13如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为，承受着比重为1液体的压力，已求得应力5/5解为aydxydycxbyaxxyyyxx，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a,b,c和d[解]如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为sin,cosn，受外力yPPyx21,0的作用根据应力边界条件，3,2,1,,jinPjiji，在ytgx处sincos21sincos0ydycxaydxyaydxbyax水坝右侧表面法线的方向余弦为0,1n，受外力0,1yxPyP的作用根据应力边界条件，3,2,1,,jinPjiji，在y处aydxbyaxy01由上述两个方程组，得21211,2,,0tgdctgctgcba外力是如何确定的习题14如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。[解]如图所示，建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为sin,cosn，受外力ayPyPyxsin21,cos的作用根据应力边界条件，3,2,1,,jinPjiji，在ytgx处sinsincoscossincosyyyxyxyx水坝右侧表面法线的方向余弦为sin,cosn，受外力0yxPP的作用根据应力边界条件，3,2,1,,jinPjiji，在ythx处0sincos0sincosyxyxyx