数论综合练习

数论综合练习五年级奥数：数的整除性试题一、填空题1.、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、有四个数921438、76186、750235、2660161，其中只有_____是完全平方数.二、解答题1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？2、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.5、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数，如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【质数、合数】和【约数和倍数】和【余数】7、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？9、480有多少个约数？10、试求出一个最小的整数，它正好有12个约数。11、四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个是多少？12、有一类三位数，它们除以6余5，除以8余5，除以9余5，请问这些三位数中，最小的一个是多少？13、两个数的积为126，最大公约数为3，则这两个数的最小公倍数是多少？14、将自然数a和b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m为多少？15、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数。16、在555555的约数中，最大的三位数是多少?数论综合练习五年级奥数：数的整除性试题一、填空题1.、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.【解析】7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,37719=419.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.【解析】1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.【解析】990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.【解析】99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.【解析】3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）=(1+100)2100-(3+99)233=5050-1683=33676、所有能被3整除的两位数的和是______.【解析】1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)302=16657、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.【解析】96910或46915五位数能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.【解析】90因为105=357,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275.最后用7去试除知,199290能被7整除.所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90.[注]此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么.199200105=1897…15105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后两位数是90.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.【解析】4316因为99=911,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.42□28□这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是427284，又42728499=4316，所以所得的商是4316.二、解答题1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？【解析】设补上的三个数字组成三位数,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0;由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1.所以这个最小七位数是1992210.[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是23511=330.这样,1992000330=6036…120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即1992000+(330-120)=1992210.2、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。【解析】能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。3、被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.【解析】方法1:通过对题意的理解我们可以得到:被除数=除数×商+余数=除数×33+52;又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数;所以除数×33+52=2058-除数;则除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=1999.方法2:此题也可以按这个思路来解:从被除数中减掉余数52后,被除数就是除数的33倍了,所以可以得到:2143-33-52-52=(33+1)×除数,求得除数=59,被除数=33×59+52=1999.4、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.【解析】分析:还是把带有余数的问题转化成整除性的问题,也就是要找出能整除(109-4)的所有的两位数.进一步,要找出能整除105的两位数,很简单的方法就是把105分解质因数,从所得到的质因子中去凑两位数.109-4=105=3×5×7.因此这样的两位数是:15;35;21.5、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.【解析】1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.6、把一个两位数的十位和个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数，如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】位值原理，947、某个质数加上6或者前去6得到的数仍然是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来。【解析】711131723478、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？8、甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小为多少？【解析】题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是偶数：（乙+乙）,这样我们分解为135=5×3×3×3,因此丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是：2×3×3×5=90.9、480有多少个约数？【解析】分解质因数480=2×2×2×2×2×3×5指数加一相乘：（5+1）×（1+1）×（1+1）=2410、试求出一个最小的整数，它正好有12个约数。【解析】12=2×6=3×4=2×2×3最小的是：2×2×3×5=6011、四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个是多少？【解析】将6435分解质因数,得6435=3×3×5×11×13说明里面的因数中有连续奇数3×3=911133×5=15所以最大的一个数是1512、有一类三位数，它们除以6余5，除以8余5，除以9余5，请问这些三位数中，最小的一个是多少？【解析】13、两个数的积为126，最大公约数为3，则这两个数的最小公倍数是多少？【解析】两个数的成绩等于两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积126÷3=4214、将自然数a和b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m为多少？【解析】5×m×2×7×3=2730m=1315、一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数。【解析】882=774416、在555555的约数中，最大的三位数是多少?【解析】555555=3×5×7×11×13×17最大为37×5×11=777