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《二次函数》全章复习与巩固学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点梳理要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上(轴)(0，0)(轴)(0，)当时开口向下(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.典型例题类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．正确找出图象与x轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为．则有，或解之，或因此所求二次函数解析式为或．【总结升华】此题容易出错漏解的错误．练习已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数的图象如图1所示，反比例函数与正比例函数y＝(b+c)x在同一坐标系中的大致图象可能是()．【答案】B；由的图象开口向上得a＞0，又，∴b＜0．由抛物线与y轴负半轴相交得c＜0．∵a＞0，∴的图象在第一、三象限．∵b+c＜0，∴y＝(b+c)x的图象在第二、四象限．同时满足和图象的只有B．【总结升华】由图1得到a、b、c的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x轴的交点A的坐标可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式的解集.【答案】x＞3或x＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x轴的交点A(3，0)知，抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式的解集就是函数值，y＞0时，x的取值范围．当x＞3或x＜-1时，y＞0，因此不等式的解集为x＞3或x＜-1．【总结升华】弄清与的关系，利用数形结合在图象上找出不等式的解集．类型四、函数与方程4．已知抛物线与x轴没有交点．①求c的取值范围；②试确定直线经过的象限，并说明理由．【答案与解析】（1）∵抛物线与x轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c＜0，解得c＞（2）∵c＞，∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1，∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限.【总结升华】抛物线与x轴没有交点，⊿＜0，可求c的取值范围.练习1，无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是()A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x轴下方，则．答案：B2，对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是()A．1B．2C．0D．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数的图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b2-4ac＝0求出a．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数的图象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a．(2)根据题意，方程有两个相等的实数根，所以，解得a＝0或a＝2．当a＝0时，y＝x2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a＝2时，，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【总结升华】二次函数的图象与x轴只有一个交点时，方程有两个相等的实数根，所以．类型六、二次函数与实际问题6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足图2所示的一次函数关系．(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益ω的最大值．【思路点拨】(2)依题意设y＝k1x+800，z＝k2x+200．分别将(400，1200)和(200，160)代入两式求出k1、k2．(3)由题意ω＝yz．【答案与解析】(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为800×200＝160000(元)．(2)依题意可设y＝k1x+800，z＝k2x+200，则有400k1+800＝1200，200k2+200＝160，解得k1＝1，，所以y＝x+800，．(3)．政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．【总结升华】求最大值问题一般需列出二次函数关系式．巩固练习一、选择题1．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是()．A．B．C．D．2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）．3．抛物线图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为()．A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝-2，c＝-1D．b＝-3，c＝24.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．B．C．D．5．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的个数是()．A．1B．2C．3D．4第4题第5题6．已知点(，)，(，)(两点不重合)均在抛物线上，则下列说法正确的是()．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．在反比例函数中，当时，y随x的增大而减小，则二次函数的图象大致是图中的()．8．已知二次函数(其中，，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题9．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________（填“＞”，“＜”或“＝”）．10．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．11．抛物线的顶点为C，已知y＝-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______________．第10题第12题第13题13．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数的图象过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(，y3)三点，则y1、y2、y3大小关系是______.三、解答题17．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体运动(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由18.如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，