第六章简单的超静定问题

§6—1超静定问题及其解法§6—2拉压超静定问题§6—3扭转超静定问题§6—4简单超静定梁约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静定问题。只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。§6—1超静定问题及其解法2，超静定问题1，静定问题未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数。3，超静定的次数5，多余未知力4，多余约束多于维持平衡所必需的支座或杆件。与多余约束相应的支反力或内力。§6—2拉压超静定问题一，一般超静定问题例题：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图所示。计算约束反力。PBACRByPBRAAC这是一次超静定问题。平衡方程为PRRBAPBACBACC1lAC相容条件是：杆的总长度不变lCB=RByPBRAACPBAC变形几何方程为：llCBACEAaRlAACEAbRlBCBBACC1lAClCB=RByPBRAACPBAC补充方程为EAbREAaRBA平衡方程为PRRBAlPbRAlPaRBBACC1lAClCB=RByPBRAACPBAC例题：设1、2、3三杆用绞链连结，如图所示、l1=l2=l，A1=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度l3,横截面积A3,弹性模量E3。试求在沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力。CABDP123xyN1N2N3PααACABDP123解：平衡方程为NN210coscos321PNαNαNxyN1N2N3PααACABDP123这是一次超静定问题由于问题在几何，物理及受力方面都是对称。所以变形后A点将沿铅垂方向下移。相容条件是：变形后三杆仍绞结在一起﹗A'xyN1N2N3PααACABDP123CABD123变形几何方程为cos31lllΔ3lΔ1CABDP123A123A'EAlNl11AEαlNl3333cosA'CABD123物理方程为补充方程为2cos3331AEEANNA'CABD123lΔ3lΔ1A123A'2cos3331AEEANN补充方程NN210coscoscos321PNNN平衡方程A'CABD123lΔ3lΔ1A123A'解得233213333221EACOSAECOSPNNCOSAEEAPN解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。画受力图列静力平衡方程画变形几何关系图列变形几何关系方程建立补充方程解联立方程求出全部约束反力虎克定律例题：图示平行杆系1、2、3悬吊着横梁AB(AB的变形略去不计)，在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E。试求1、2、3三杆的轴力N1，N2，N3。ABCG123aalABCG123aalN1N2ABCG3N312x解：(1)平衡方程0x0x0y0321GNNN0mB0221aNaN这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。ABCG123aalA123BCABCl3l2l1(2)变形几何方程lll2231(3)物理方程EAlNl11EAlNl22EAlNl33ABCG123aalA123BCABCl3l2l1补充方程NNN2231ABCG123aalA123BCABCl3l2l1(4)联立平衡方程与补充方程求解NNN22310x0321GNNN0221aNaN61GN32GN653GN思考题刚性梁ABC由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸如图所示，拉力P为已知。求各杆的轴力。ABC123408080P75ABC123408080P75变形相容条件变形后三根杆与梁仍绞接在一起。l1l2l3变形几何方程lll3122ABC123P75lll3122补充方程N1N2N3P4080800321PNNN04232PNNEAlNEAlNEAlN3311222静力平衡方程例题：刚性杆AB如图所示。已知1、2杆的材料，横截面积，长度均相同。若两杆的横截面面积A=2cm2，材料的许用应力[]=100MPa。试求结构所能承受的最大荷载Pmax。12ABCP2aa解：这是一次超静定问题(1)列静力平衡方程取AB为研究对象12ABCP2aaN1N2PN0MC2N2+N1-P=012ABCP2aaL1N1N2PN(2)变形几何方程LLΔ2Δ12EALNL11ΔEALNL22Δ12ABCP2aaLΔ2(3)列补充方程N2=2N12N2+N1-P=0(4)由静力平衡方程和补充方程联立解N1和N252521PNPNN1N2PN12ABCP2aa][σAPAN51][σAPAN522强度条件为求得P=50KN由][σAPAN522(5)由强度条件求PmaxN1N2PN12ABCP2aa例题：桁架由三根抗拉刚度均为EA的杆AD，BD和CD在D点绞接而成，求在力P作用下三杆的内力。ABCD123PH解：设AD、BD和CD杆的轴力N1，N2，N3均为拉力。N1N2N3DPABCD123PH作节点D的受力图。D点的平衡方程为0231βαcoscos)(PNNN031βααsinsinsinPNN这是一次超静定问题N1N2N3DPABCD123PH变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。ABCD123PH123DD'D1l2lΔ3作变形图ABCD123PHl1FGtgllFGDFDG21sinD'D1123Dl2lΔ3l1FGtgllFGDFDG21sinD'D1123Dl2lΔ3l1Esin32ltglEDGEDGcos2231lll几何方程为FGD'D1123Dl2lΔ3l1Ecos2231lll几何方程为EAHNEAlNl2222Δcos1111EAHNEAlNlcosΔ3333EAHNEAlNl补充方程2231cos2NNN联立补充方程和平衡方程求解ABCD123PH0231βαcoscos)(PNNN031βααsinsinsinPNNN1=?N2=?N3=?，。ABCD213lA二，装配应力图示杆系，若3杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆将处于图中位置，因而产生轴力。3杆的轴力为拉力，1，2杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为装配内力。与之相对应的应力称为装配应力。，。ABCD213lAl3代表杆3的伸长l1代表杆1或杆2的缩短代表装配后A点的位移ABCD213lAl3l1(1)变形几何方程l3cos1lcos13ll(2)物理方程AElNl1111cosAElNl3333ABCD213lAl3l1补充方程为2111333cosAElNAElNABCD213lAl3l1N1N3N2(4)平衡方程0sinsin21NN0coscos213NNNABCD213lAl3l1补充方程为2111333cosAElNAElN0sinsin21NN0coscos213NNN与平衡方程联立N1，N2，N3可解例题：两铸件用两根钢杆1,2连接，其间距为l=200mm。现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。ABCA1B1C112aaleΔC1C3（c)ABCA1B1C112ell31变形几何方程为C1leΔC3(b)ll21l3EAlNl11ΔAElNl3333Δ代入得补充方程EAlNeAElN133-Δ3NN21列平衡方程0NNN213xB'C'A'N1N2N3ell31解三个联立方程AElNΔeAElN1333NN210213NNN即可得装配内力N1，N2，N3，，进而求出装配应力。三，温度应力例题：图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为l，杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为。试求温度升高T时杆内的温度应力。解：这是一次超静定问题0lΔlAB变形相容条件是，杆的总长度不变。即BlNABP1P2lNlABBAlT杆的变形为两部分：由温度升高引起的变形由轴向压力P1=P2引起的变形lT变形几何方程是：0lllNTEAlNlNlΔTlTBABP1P2lNlABBAlT补充方程是：lTEAlN温度内力为：TEAN温度应力为：TEANσBABP1P2lNlABBAlT例题：桁架由三根抗拉压刚度均为EA的杆在A点绞接，试求由于温度升高T而引起的温度应力。材料的线膨胀系数为。132ABDCl132ABDCl132AB1C1A1解：AB1，AC1，AA1分别为由于温度的升高引起1，2，3三杆的伸长。132ABDCl132ATlACABcos11TlAA1B1C1A1C1B1132ABDCl132A假设装配后节点A下降至A2处C2A1A2装配后3杆的伸长B1B2装配后杆1的缩短C1C2装配后2杆的缩短A1B2A2132ABDCl132AN1，N2，N3为各杆的装配内力AN1N2N3EAlNAA321EAlNCCBBcos12121C1B1C2A1B2A2l3l2(1)变形几何方程cos321lll132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2物理方程关系：EAlNTlBBABllcoscos121121EAlNTlAAAAl32113l3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2EAlNTlcoscos1cos)(3EAlNTll3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2（2）补充方程：(3)平衡方程0coscos0213NNNy0sinsin021NNxl3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A20coscos213NNN0sinsin21NN（4）联立求解EAlNTlcoscos1cos)(3EAlNTll3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2解得1cos2sin3221EATNNl3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A21cos2cossin2323EATNN1，N2，N3皆为正，说明如所设1，2杆受压，3杆受拉。l3l2132ABDCl132AAN1N2N3C1B1C2A1B2A2§6—3扭转超静定问题例题；两端固定的圆截面杆AB，在截面Ｃ处受一个扭转力偶矩