一阶系统的单位阶跃响应

图3－5所示系统。其输入－输出关系为11111)()(TssKsRsC（3-3）式中KT1，因为方程(3-3)对应的微分方程的最高阶次是1，故称一阶系统。实际上，这个系统是一个非周期环节，T为系统的时间常数。一、一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃函数的拉氏变换为s1，将ssR1)(代入方程(3-3)，得sTssC111)(将)(sC展开成部分分式，有11()1CsssT（3-4）对方程(3-4)进行拉氏反变换，并用)(th表示阶跃响应)(tC，有tTeth11)(0t(3-5)由方程(3-5)可以看出，输出量)(th的初始值等于零，而最终将趋于1。常数项“1”是由s1反变换得到的，显然，该分量随时间变化的规律和外作用相似(本例为相同)，由于它在稳态过程中仍起作用，故称为稳态分量(稳态响应)。方程(3-5)中第二项由11/()sT反变换得到，它随时间变化的规律取决于传递函数1/(1)Ts的极点，即系统特征方程()10DsTs的根(1/)T在复平面中的位置，若根处在复平面的左半平面如图3－6(a)所示，则随着时间t的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零(如图3－6(b)所示)，称为瞬态响应。可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。显然，这是一条指数响应曲线，其初始斜率等于1/T，即TeTdtdhttTt1|1|010(3-6)这就是说，假如系统始终保持初始响应速度不变，那么当Tt时，输出量就能达到稳态值。实际上从方程(3-6)可以看出，响应曲线)(th的斜率是不断下降的，从0t时的T1一直下降到t时的零值。因此，当Tt时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当Tt2时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当Tt3，T4和T5时，响应曲线分别达到稳态值的95%，98.2%和99.3%。由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间st，它表征系统过渡过程进行的快慢。由于Tt3时，输出响应已达到稳态值的95%；t=4T时，输出达到稳态值的98.2%，故一般取)(3sTts，(对应Δ=5%的误差带)或)(4sTts，(对应Δ=2%的误差带)显然，时间常数T是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间st也越小，响应过程的快速性也越好。由图3-6(b)可以看出，图3－5所示系统的单位阶跃响应在稳态时与输入量之间没有误差，即011)(1hess假设，现有一个单位反馈系统，其开环传递函数为121)(TssG，试自行推导其单位阶跃响应，并与图3-5系统比较其异同。