第6章《平面图形的认识(一)》考点归纳

1第6章《平面图形的认识(一)》考点归纳知识梳理重难点分类解析考点1与线段中点有关的分类讨论【考点解读】当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分类讨论求解，将不同情况结合归纳得出正确结果.例1在一直线上有,,ABC三个点，M为AB的中点，N为BC的中点，若,ABaBCb，试用,ab表示线段MN的长.分析:本题要根据,,ABC三点的位置关系分三种情况讨论.解答:如图①，11()()22MNABBCab；如图②，11()()()22MNBCABbaba；如图③，11()()()22MNABBCabab.【规律·技法】解答本题的关健是搞清题意，以免分类不全面，造成错误.【反馈练习】1.已知线段100ABcm,M为AB的中点，在AB所在直线上有一点,PN为AP的中点，若15MNcm，求AP的长.考点2角的度量与换算【考点解读】1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″.2例2计算:(1)77423245;(2)把5624化为度;(3)2536124;(4)109246;(5)把3.62化为度、分、秒.分析:运用角的进制.①角的加减:同位进行加减，满60向高一位进“1”，不够减向高一位借，“1”当“60”;②角的倍数:将度、分、秒分别相乘再整理进位;③角的百分之几计算(除法)，从高位往低位运算，不能整除的余值乘60加到下一级后再做除法运算.解答:(1)774232454257.(2)562456.4.(3)2536124100144481022448.(4)1092461814.(5)因为160，所以0.62600.6237.2.因为160，所以0.2600.212,所以3.6233712.【规律·技法】度、分、秒间的互化要遵循“从高位向低位化，用乘法;从低位向高位化，用除法”的原则.【反馈练习】2.(1)用度、分、秒表示:44.16=;2(55)3=.(2)用度表示:3215=;684536=.考点3方向角的应用考点解读】我们常利用角的有关知识来解决实际生活中的应用问题，此类题目有利于培养我们联系生活实际的能力.例3测量员沿着一块地的周围测绘，从点A向东走600m到点B，再从点B向东南走500m到点C,再从点C向西南走800m到点D，用0.5cm代表100m画图，求DA的长(精确到10m)和DA的方向(准确到1°).分析:根据题意正确画出图形是解决此类题的关健.解答:根据题意画出图形，如图:例4图用刻度尺量得DA5.0cm，实际上DA=5.0÷0.5X100=1000(m)，用量角器量得点A在点D的北偏西23°的方向上.【规律·技法】(1)北偏东45°(即角平分线)方向也说成东北方向，西北方向即北偏西45°方向，西南方向即南偏西45°方向，南偏东45°方向即东南方向;(2)一般地，用角度表示方向时，在哪一点观测就在那一点重新画出互成直角的南北向的直线和东西向的直线，这是解决连续观测的关键;(3)无论观测点选在何处，所画的南北方向的直线都平行，东西方向的直线也都平行.【反馈练习】3.一只蚂蚁从点O出发，沿北偏东60°方向爬行2cm，碰到障碍物B，又沿北偏西60°方向爬行2cm到点C.(1)请画出蚂蚁的爬行路线;(2)点C在点O的什么位置?测量出点C离点O有多远?(精确到1cm)考点4与角有关的规律探索【考点解读】角的有关问题与线段的有关问题有许多类似之处，如数线段的方法同样适用于数角，用方程进行线段的有关计算也同样适用于角度的计算等.例4如图，90,AOBAOC为AOB外的一个锐角，且30AOC，射线OM平分,BOCON平分AOC.(1)求MON的度数;(2)如果(1)中AOB，其他条件不变，求MON的度数;(3)如果(1)中AOC(为锐角)，其他条件不变，求MON的度数;(4)从(1)(2)(3)的结果中，你能得出什么规律?3(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律.分析:此题是从特殊化的图形中寻求解题的思路，然后回到一般图形中，探求一般规律，这也是我们解决数学问题的一种常用的思考方法.解答:(1)因为90,30AOBAOC，所以9030120BOCAOBAOC.因为OM平分BOC，所以111206022COMBOC.因为ON平分AOC，所以11301522CONAOC.所以601545MONCOMCON.(2)当AOB，其他条件不变时，仿(1)可得12MON.(3)仿(1)可求得904522MONCOMCON.(4)从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律:MON的大小总等于AOB的一半，与锐角AOC的大小无关.(5)如图，已知线段ABa,点C在AB的延长线上且,BCbM是AC的中点，N是BC的中点，求MN的长.规律:MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关.【规律·技法】根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以特殊化的图形为载体，把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，依照猜想数式规律的方法得到最终结论.【反馈练习】4.(2017·南京期末)如图，OM是AOC的平分线，ON是BOC的平分线.(1)如图①，当90AOB,60BOC时，MON=°;(2)如图②，当,AOBBOC时，猜想:MON的度数是多少?为什么?考点5在网格中画平行或垂直【考点解读】利用构造直角三角形的方法或平移的知识来画网格中的垂线或平行线是行之有效的方法，比单纯观察再画线要显得更为有效.例5在如图所示的方格纸上，有两点,PQ和直线BC.(1)过点P画//EFBC;(2)过点Q画//GHBC;(3)直线EF与GH有怎样的位置关系?说说你的理由.分析:在网格图中利用平移的知识画平行线.解答:(1)(2)如图所示:4(3)//EFGH.理由如下:因为//,//EFBCGHBC，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，所以//EFGH.【规律·技法】可以利用平移的知识来画平行线(要求具备一定的对应关系).【反馈练习】5.(2017·徐州期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm,,,ABC均为格点.(1)过点C画AB的平行线CD;(2)过点C画AB的垂线，垂足为E;(3)连接,CACB，则ABC的面积=cm2.例1图易错题辨析易错点1求线段长度时考虑不全面例1如图，已知线段AB=10,C是AB的中点.(1)求线段BC的长;(2)若点D在直线AB上，BD=2.5，求线段CD的长.错误解答:(1)因为线段AB=10,C是AB的中点，所以152BCAB.(2)如图:因为52.5BCBD，,所以7.5CDBCBD.错因分析:没有讨论点D在线段AB上和点D在AB延长线上两种情况.正确解答:(1)因为线段AB=10,C是AB的中点，所以152BCAB.(2)①如图①，当点D在线段AB上时，因为52.5BCBD，，所以2.5CDBCBD;②如图②，当点D在线段AB的延长线上时，因为52.5BCBD，，所以7.5CDBCBD.综上所述，线段CD的长为2.5或7.5.易错辨析:在求线段的长度时，若没有给出图形，则要注意分类讨论;若给出图形，就不需要分类讨论.易错点2角度计算考虑不全面例2已知90AOBOC，是从AOB的顶点O引出的一条射线，若2AOBBOC，求AOC的度数.错误解答:如图所示:因为2AOBBOC，90AOB，所以190452BOC，所以5904545AOCAOBBOC.错因分析:没有考虑OC在AOB外部时的情况.正确解答:由题意可知45BOC.如图①，当OC在AOB的内部时，904545AOCAOBBOC；例4图如图②，当OC在AOB的外部时，135AOCAOBBOC.综上所述，AOC的度数为45º或135º.易错辨析:当图形的位置不明确时(尤其是在没有附图的情况下)，需要对可能的位置进行讨论，不能简单地根据数量关系就进行判断.如本题中的“OC是从AOB的顶点O引出的一条射线”，这里有两种可能，即OC可能在AOB的内部，也可能在AOB的外部.易错点3互余、互补的概念理解不清例3若1+23180，则123，，互为补角.这种说法正确吗?(说明理由)错误解答:正确.理由如下:因为这3个角的和是180º.错因分析:互为补角的概念理解不清，互补是两个角之间的关系.正确解答:不正确，因为互补是两个角之间的关系，而题中给出的是三个角之间的关系.易错辨析:互为余角、互为补角是指两个角之间的数量关系，1个角或超过2个角不存在“互余”或“互补”关系.例4如图，已知O是直线AB上一点，OC是任意一条射线，,ODOE分别是AOC和COB的平分线.图中AOD的补角是，AOE的补角是.错误解答:BODBOE错因分析:漏找了AOE的另一个补角.正确解答:BODBOECOE，易错辨析:在解此类题目时往往会简单地写出AOE的补角是BOE就结束了，显然这是错误的，因为互余和互补是指具有特殊数量关系的两个角的一个定义，也就是说:如果180AB+，那么AB,互补，而与AB,的位置无关.因此，我们应通过数量关系来找互余和互补.本题中COEBOE，因此AOE的补角还有COE.易错点4点到直线的距离概念理解不清例5下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是()错误解答:B或D错因分析:对于点到直线的距离的定义理解不清.正确解答:C易错辨析:本题其实可以转化为“找过点P到直线a的垂线段”，也就是找直线a的垂线段PQ，则垂足必然为点Q易错点5画图分析能力弱导致漏解例6在直线AB上任取一点O，过点O画射线,OCOD，使OCOD，当30AOC时，BOD的度数是.6错误解答:60º错因分析:没有考虑,OCOD在直线AB异侧时的情况.由于题目中没有明确给出,OCOD的位置，故需要分情况讨论:①
图①，当,OCOD在直线AB同侧时，反馈练习第3题图因为OCOD,30AOC,所以18060BODCODAOC;②如图②，当,OCOD在直线AB异侧时，因为OCOD,30AOC,所以180180()120BODAODDOCAOC.综上所述，BOD的度数是60º或120º.正确解答:60º或120º易错辨析:在解没有给出图形的几何题时，需考虑图形位置的所有可能，确保不重不漏.【反馈练习】1.若1与2互余，1与3互补，2与3的度数和等于周角的13，则1,2,3的度数分别是()A.50º，30º，130ºB.70º，20º，110ºC.75º，15º，105ºD.60º，30º，120º2.填空:(1)2330=º;(2)18.32634=(用度、分、秒表示).3.(2017·无锡期末)如图，80,30AOBAOC,OD平分BOC.请依题意补全图形，并求出AOD的度数..4.如图，O为直线AB上一点，将直角三角尺OCD的直角顶点放在点O处.(1)若AOC的度数比BOD的度数的3倍多10º，求BOD的度数;(2)若,OEOF分别平分BOD,BOC，试说明:EOF的度数是一个定值..5.(2017·徐