平面直角坐标系及其应用

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平面直角坐标系(基础)知识讲解【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念,能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标,掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义:把有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).要点诠释:有序,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,如电影院的座位是6排7号,可以写成(6,7)的形式,而(7,6)则表示7排6号.要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释:平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2.点的坐标平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标,记作:P(a,b),如图2.要点诠释:(1)表示点的坐标时,约定横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用“,”隔开.(2)点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|表示点到x轴的距离.(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x,y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.要点三、坐标平面1.象限建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限,如下图.要点诠释:(1)坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限.(2)按方位来说:第一象限在坐标平面的右上方,第二象限在左上方,第三象限在左下方,第四象限在右下方.2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域:x轴,y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中,除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外,其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释:(1)对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,就在坐标轴上.(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点的纵坐标为0;y轴上的点的横坐标为0.(3)根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置;反之,根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况.2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可表示为(a,a);第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数,可表示为(a,-a).3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b);P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b);P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对1.如果将一张“13排10号”的电影票简记为(13,10),那么(10,13)表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上,一个数据不能确定平面上点的位置.须用有序数对来表示平面内点的位置.【答案】10,13.【解析】由条件可知:前面的数表示排数,后面的数表示号数.【总结升华】在表示时,先要“约定”顺序,一旦顺序“约定”,两个数的位置就不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同.举一反三:【变式】某地10:00时气温是6℃,表示为(10,6),那么(3,-7)表示________.【答案】3:00时该地气温是零下7℃.类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图,写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标,要先确定点所在的象限,再看点到坐标轴的距离.【答案与解析】解:由点A向x轴作垂线,得A点的横坐标是2,再由点A向y轴作垂线,得A点的纵坐标是3,则点A的坐标是(2,3),同理可得点B、C、D的坐标.所以,各点的坐标:A(2,3),B(3,2),C(-2,1),D(-1,-2).【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值,到y轴的距离是这点横坐标的绝对值.举一反三:【变式】在平面直角坐标系中,如果点A既在x轴的上方,又在y轴的左边,且距离x轴,y轴分别为5个单位长度和4个单位长度,那么点A的坐标为().A.(5,-4)B.(4,-5)C.(-5,4)D.(-4,5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中,描出下列各点A(4,3),B(-2,3),C(-4,1),D(2,-2).【答案与解析】解:因为点A的坐标是(4,3),所以先在x轴上找到坐标是4的点M,再在y轴上找到坐标是3的点N.然后由点M作x轴的垂线,由点N作y轴的垂线,过两条垂线的交点就是点A,同理可描出点B、C、D.所以,点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示.【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应;对于任意一对有序数对,在坐标平面内都有唯一的一点与它对应,也就是说,坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.举一反三:【变式】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知:A(3,2),B(5,0),则△AOB的面积为.【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.指出下列各点所在的象限或坐标轴.A(4,5)、B(-2,3)、C(-4,-1)、D(2.5,-2)、E(0,-4)、F(3,0)、G(0,0).【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号,进而判断所在象限.【答案与解析】解:点A在第一象限,点B在第二象限,点C在第三象限,点D在第四象限,点E在y轴上,点F在x轴上,点G在原点上.【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质,解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号,但注意坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在x轴上,又在y轴上.举一反三:【变式1】点A(3,n)在第四象限,到x轴的距离为4.则点A的坐标为________.【答案】(3,-4).【高清课堂:第一讲平面直角坐标系1369934练习3】【变式2】若点P(a,b)在第二象限,则:(1)点P1(a,-b)在第象限;(2)点P2(-a,b)在第象限;(3)点P3(-a,-b)在第象限;(4)点P4(b,a)在第象限.【答案】(1)三;(2)一;(3)四;(4)四.5.已知点A(-3,2)与点B(x,y)在同一条平行于y轴的直线上,且点B到x轴的距离等于3,求点B的坐标.【思路点拨】由“点A(-3,2)与点B(x,y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标;由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3,即可确定B的坐标.【答案与解析】解:如图,∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上,∴点B与点A的横坐标相同,∴x=-3.∵点B到x轴的距离为3,∴y=3或y=-3.∴点B的坐标是(-3,3)或(-3,-3).【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下,点B到x轴的距离等于3,则点B可能在第二象限,也可能在第三象限,所以要分类讨论,防止漏解.举一反三:【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为().A.(3,0)B.(3,0)或(–3,0)C.(0,3)D.(0,3)或(0,–3)【答案】B.【高清课堂:第一讲平面直角坐标系1369934练习4(5)】【变式2】在直角坐标系中,点P(x,y)在第二象限且P到x轴,y轴的距离分别为2,5,则P的坐标是_________;若去掉点P在第二象限这个条件,那么P的坐标是________.【答案】(-5,2);(5,2),(-5,2),(5,-2),(-5,-2).平面直角坐标系(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1.A地在地球上的位置如图,则A地的位置是().A.东经130°,北纬50°B.东经130°,北纬60°C.东经140°,北纬50°D.东经40°,北纬50°2.点A(a,-2)在二、四象限的角平分线上,则a的值是().A.2B.-2C.12D.123.已知点M到x轴、y轴的距离分别为4和6,且点M在x轴的上方、y轴的左侧,则点M的坐标为().A.(4,-6)B.(-4,6)C.(6,-4)D.(-6,4)4.已知A(a,b)、B(b,a)表示同一个点,那么这个点一定在().A.第二、四象限的角平分线上B.第一、三象限的角平分线上C.平行于x轴的直线上D.平行于y轴的直线上5.已知点(Ma,)b,过M作MHx轴于H,并延长到N,使NHMH,且N点坐标为(2,3),则()ab.A.0B.1C.—1D.—56.(湖北武汉)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,且规定,正方形的内部不包含边界上的点.观察如图所示的中心在原点,一边平行于x轴的正方形:边长为1的正方形内部有一个整点,边长为2的正方形内部有1个整点,边长为3的正方形内部有9个整点……,则边长为8的正方形内部的整点的个数为().A.64B.49C.36D.25二、填空题7.已知点P(2-a,3a-2)到两坐标轴的距离相等,则P点的坐标为___________.8.线段AB的长度为3且平行x轴,已知点A的坐标为(2,-5),则点B的坐标为.9.如果点(0A,1),(3B,1),点C在y轴上,且ABC△的面积是5,则C点坐标____.10.设x、y为有理数,若|x+2y-2|+|2x-y+6|=0,则点(x,y)在第______象限.11.观察下列有序数对:(3,-1)、15,2,17,3、19,4、……根据你发现的规律,第100个有序数对是________.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为:A(-2,1)、B(-3,-1),C(-1,-1),且D在x轴上方.顺次连接这4个点得到的四边形是平行四边形,则D点的坐标为_______.13.已知平面直角坐标系内两点M(5,a),N(b,-2).(1)若直线MN∥x轴,则a________,b________;(2)若直线MN∥y,轴,则a________,b________.14.(台州)若点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,则称点P为“和谐点”,请写出一个“和谐点”的坐标,如________.三、解答题15.如图,棋子“马”所处的位置为(2,3).(1)你能表示图中“象”的位置吗?(2)写出“马”的下一步可以到达的位置(象棋中“马”走“日”字或“”字)16.如图,若B(x1,y1)、C(x2,y2)均为第一象限的点,O、B、C三点不在同一条直线上.(1)求△OBC的面积(用含x1、x2、y1、y2的代数式表示);(2)如图,若三个点的坐标分别为A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积.17.如图所示,在平面直角坐标系中,第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1,第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2,第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3,已知A(1,2),A1(2,2),A2(4,2),A3(8,2);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).(1)观察每次变换前后的三角形有何变化?找出规律,按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4,则A4的坐标是________,B4的坐标是________;(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行n次变换,得到三角形OAnBn,推测An的坐标是________,Bn的坐标是________.(3)求出△O的面积.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.2.【答案】A;【解析】因为(a,-2)在二、四象限的角平分线上,所以a+(-2)=0,即a=2.3.【答案】D;【解析】根据题意,画出下图,由图可知M(-6,4).4.【答案】

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