数值分析试题及答案

1数值分析模拟试卷(七)答案一、填空题(每题6分，共30分)1、辛普生求积公式具有3次代数精度，其余项表达式为4(4)()(),(,)1802babafab。2、2()1,fxx则[1,2,3]1,[1,2,3,4]0ff。3、设()(0,1,2)jlxjn是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则()jilx1,,0,ijij(,0,1,2)ijn；0()njjlx1。4、设()(0,1,2)jlxjn是区间[,]ab上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为至少是n；插值型求积公式中求积系数jA()bkalxdx；且0njjAb-a。5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为2.7183和8.0000。二、计算题(每题10分,共计60分,注意写出详细清晰的步骤)1、已知函数()yfx的相关数据i0123ix()iiyfx012313927由牛顿插值公式求三次插值多项式3()Px，并计算13()2P的值近似值。（注：要求给出差商表）得分签名得分签名2解：差商表iix()ifx1[,]iifxx12[,,]iiifxxx123[,,,]iiiifxxxx0123012313927268264/3由牛顿插值公式：323332348()()21,331411813()()2()()12232232pxNxxxxp2、已知一组试验数据如下ix20406080100if4.357.5510.4013.8016.80求它的拟合曲线（直线）。解：设yabx则可得530052.90300220003797abab于是1.235,0.15575ab，即1.2350.15575yx。3、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2h,(0,0.8)(0)1.yyxxy。解：1111(),[()()],2nnnnnnnnnnyyhyxhyyyxyx0(0,1,2,3,)1,ny31.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.ky4、已知012113,,,424xxx(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424fxdxAfAfAf；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120xdx。解：(1)所求插值型的求积公式形如：10120113()()()()424fxdxAfAfAf111120000001021110211000101210122020213()()()()224();1113()()3()()424413()()()()144();1113()()3()()2424()()()()(xxxxxxAlxdxdxdxxxxxxxxxxxAlxdxdxdxxxxxxxxxAlxdxxxx1100111()()242;3131)3()()4442xxdxdxx故101113()[2()()2()]3424fxdxfff。（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将34(),fxxx代入上述公式，可得13333014444011113[2()()2()],4342411113[2()()2()],53424xdxxdx故代数精度是3次。4（3）由2）可得：12222011131[2()()2()]34243xdx。5、用二分法求方程3()1fxxx在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1)需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。解：6次；*1.32x。6、用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,433032.xxxxxxxxx解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012即123123233433032,13,118238,8,2.2.xxxxxxxxx四、简述题（本题10分）叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。得分签名