圆锥曲线最值问题

1高考中圆锥曲线最值问题求解方法圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值。（3）圆锥曲线上点到x轴（y轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何图形面积的最值等。一、定义法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。例1、已知抛物线24yx，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。解：如图，24,2yxp,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值.min(||||)4APPF.由241{yxy,得1(,1)4P为所求点.若另取一点P，显然||||||||||||APPFAPPQAPPQ。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁QpOF(1,0)xA(3,1)yQP2就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求||||PFAPe的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。例2、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为___________.解：112222249PFPAPFPFPAPFaPAPFAF例3、已知椭圆221259xy的右焦点F，且有定点(1,1)A，又点M是椭圆上一动点。问||||MAMF是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标例4、已知P点为抛物线24yx上的点，那么P点到点(2,1)Q的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为___，此时P点坐标为_.二、参数法利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例1、椭圆22221xyab的切线与两坐标轴分别交于,AB两点，求三角形OAB的最小面积。分析；写出椭圆参数方程cossin{xayb，设切点为(cos,sin)Paa，可得切线方程。解：设切点为(cos,sin)Paa，则切线方程为1cossinxyab.令y=0,得切线与x轴交点)(,0cosaA；令0x，得切线与y轴交点(0,)sinBb||||12SOAOBAOB=||||.2sincossin2abababmin.Sab221412xyPFPA3[点悟]利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。三、二次函数法函数法就是把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.（关键：建立函数关系式，注意变量的定义域）。例1、过动直线2xyp与定直线2xya的交点（其中(0,3]pa）的等轴双曲线系22xy中，当p为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。解：由22{xyaxyp,得交点22(,)55Qpapa,将交点Q坐标代入双曲线,22xy=2222()()55papa=221(383)25papa=221425[3()].2533aap(0,3]Pa.当43ap,2max13a,又03pa,445,333aaap45||33aap；当p=3a时,min0.[点悟]把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。例2、点,AB分别是椭圆2213620xy的长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PAPF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于||MB.求椭圆上点到点M的距离的最小值.分析：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值。解：由已知可得点(6,0)A、(4,0)F,设点(,)Pxy，则222(6,),(4,),(6)(4)0(1)1(2)3620APxyFPxyAFFPxxyxy4由（1）（2）及0y得32532xy∴AP的方程为360xy设(,0)Mm，则点M到直线AP的距离6,62mdMBm6622mmm设椭圆上点00(,)xy到M距离为d则2200220002000max(2)54420949()1566929152dxyxxxxxxd当时，四、几何法将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离（切线法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。）等求解。例1、已知椭圆221123xy和直线:90lxy，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点12,FF为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。分析；设1F是1F关于l对称点，可求出1F坐标，过12FF的直线方程与90xy联立得交点M为所求。5解：由椭圆方程221123xy，得12(3,0),(3,0)FF，设1F是1F关于l对称点，可求出1F坐标为(-9,6)，过12FF的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)，即过M的椭圆长轴最短。由12||||2MFMFa,得265a，245a,29c,236b所求椭圆方程为2214536xy.[点悟]：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。五、不等式法基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用均值不等式“等号成立”的条件求解。.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.例5、过椭圆2222xy的焦点的直线交椭圆A,B两点，求AOB面积的最大值。分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。解：椭圆焦点(0,1)，设过焦点(0,1)，直线方程为1ykx与2222xy联立，消去y,得22(2)210kxkx，其中两根12,xx为,AB横坐标。将三角形AOB看作AOF与BOF组合而成，||OF是公共边，它们在公共边上的高长为12||xx.121||||2AOBSOFxx,其中||1OFc121||2AOBSxx=212121()42xxxx=2222144(2)2(2)kkkylP1FO2Fx1FM6=221812121kk22.当22111kk即0k时,取等号，即当直线为1y时,得到AOB的面积最大值为22。例2、设椭圆中心在坐标原点(2,0),(0,1)AB是它的两个顶点，直线(0)ykxk与椭圆交于,EF两点，求四边形AEBF面积的最大值.解:依题意设得椭圆标准方程为2214xy直线AB、EF的方程分别为20,(0)xyykxk设112212(,)(,)()ExkxFxkxxx221222122,41414xyxxkkykx根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB又∴四边形AFBE的面积为121()2SABhh72222222214(12)2(12)525(14)(14)(12)1442214144212214kkSkkkkkkkkk当且仅当1212kk即时成立max22S[点悟]利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的条件是这种方法关键。圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优化解题方法。