高中数学思维校本课程

肥城市第六中学校本研修评估考核材料二0一五年十一月目录课程开发与实施安排表校本课程实施纲要第一部分数学思维的变通性（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化第二部分数学思维的反思性(1)检查思路是否正确，注意发现其中的错误(2)验算的训练(3)独立思考，敢于发表不同见解校本课程开发与实施安排表课程开发生活中的数学开发教师教研组数学组课程学习目标以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活；3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力课程内容设计第一部分数学思维的变通性第二部分数学思维的反思性第三部分数学思维的严密性第四部分数学思维的开拓性可提供的总教案数教材方式适用年级高一、高二选课人数60教学设备要求多媒体所需课时6-8上课形式集体参考文献考核方式考核指标及标准出勤率日常作业考核（学分）总评0.20.10.61学科组长意见学生选报情况综述（包括学生应具备的基本素质）上届学生反馈及需完善的地方校本课程指导小组意见《数学思维》校本课程纲要一、基本项目课程名称：《数学思维》授课老师：授课对象：高一、高二年级部分学生教学材料：相关网站、资料二、课程目标以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活；3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力课程内容：第一部分数学思维的变通性第二部分数学思维的反思性第三部分数学思维的严密性第四部分数学思维的开拓性四、课程实施建议基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。五、课程评价评价指标（一）：学生自评与互评相结合，即上课出勤情况、课堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况；评价指标（二）：平时模拟训练与考查相结合；评价指标（三）：教师综合评定给与相应等级；评价等级均为：优秀、良好、中等、须努力四档第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）善于观察（2）善于联想（3）善于将问题进行转化（1）观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知dcba,,,都是实数，求证.)()(222222dbcadcba思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设),(),,(dcBbaA如图1－2－1所示，则.)()(22dbcaAB,,2222dcOBbaOA在OAB中，由三角形三边之间的关系知：ABOBOA当且仅当O在AB上时，等号成立。因此，.)()(222222dbcadcba例2已知xyx62322，试求22yx的最大值。解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx当2x时，22yx有最大值，最大值为.429)32(212思路分析要求22yx的最大值，由已知条件很快将22yx变为一元二次函数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的x值，联系到02y，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。xyO),(baA),(dcB图1－2－1例3已知二次函数),0(0)(2acbxaxxf满足关系)2()2(xfxf，试比较)5.0(f与)(f的大小。思路分析由已知条件)2()2(xfxf可知，在与2x左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2x对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解（如图1－2－2）由)2()2(xfxf，知)(xf是以直线2x为对称轴，开口向上的抛物线它与2x距离越近的点，函数值越小。)()5.0(25.02ff（2）联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如，解方程组32xyyx.这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3。由此联想到韦达定理，x、y是一元二次方程0322tt的两个根，所以31yx或13yx.可见，联想可使问题变得简单。xyO2图1－2－2例4在ABC中，若C为钝角，则tgBtgA的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析此题是在ABC中确定三角函数tgBtgA的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgBtgAtgBtgABAtg1)(可得下面解法。解C为钝角，0tgC.在ABC中)(BACCBA且均为锐角，、BA.1.01,0,0.01)()(tgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgABAtgBAtgtgC即故应选择（B）例5若.2,0))((4)(2zxyzyyxxz证明：思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当0yx时，等式0))((4)(2zyyxxz可看作是关于t的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有：1yxzy即zxy2若0yx，由已知条件易得,0xz即zyx,显然也有zxy2.例6已知cba、、均为正实数,满足关系式222cba,又n为不小于3的自然数，求证:.nnncba思路分析由条件222cba联想到勾股定理,cba、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设cba、、所对的角分别为A、B、.C则C是直角，A为锐角，于是,cos,sincbAcaA且,1cos0,1sin0AA当3n时，有AAAAnn22coscos,sinsin于是有1cossincossin22AAAAnn即,1)()(nncbca从而就有.nnncba（3）问题转化的训练数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知cbacba1111,)0,0(cbaabc,求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：0))()((accbba思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。○1转化成容易解决的明显题目例11已知,1111cbacba求证a、b、c中至少有一个等于1。思路分析结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1，也就是说111cba、、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明.,1111abcabacbccba于是.0)()1()1)(1)(1(cbabcacababccba111cba、、中至少有一个为零，即a、b、c中至少有一个为1。思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12直线L的方程为2px，其中0p；椭圆E的中心为)0,22(pO，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为)0,2(pA，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线pxy22（1）是，又从已知条件可得椭圆E的方程为14)]22([22ypx（2）因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将（2）代入（1）得：.024)47(22ppxpx（3）确定p的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：0470240)24(4)47(222pppppp在0p的条件下，得.130p本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。○2逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例13已知函数nmxxxf22)(，求证)1(f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于1.思路分析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明（反证法）假设原命题不成立，即)1(f、)2(f、)3(f都小于1。则17319729131318112811211)3(1)2(1)1(nmnmnmnmnmnmfff③②①①＋③得9211nm，与②矛盾，所以假设不成立，即)1(f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于1。○3一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例14已知复数z的模为2，求iz的最大值。解法一（代数法）设，、)(Ryxyixz.25)1(.42222yyxizyx＝则.32,2maxizyy时，当解法二（三角法）设),sin(cos2iz则.sin45)1sin2cos422＋（iz.31sinmaxiz时，当解法三（几何法）。所对应的点之间的距离与表示上的点，是圆点izizyxzz4,222如图1－2－3