【经典例题】二次函数根的分布

第1页共6页二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02cbxax根的分布情况表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa第2页共6页表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk第3页共6页表三：（根在区间上的分布）二、经典例题分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf第4页共6页例1：（实根与分布条件）已知,是方程024)12(2mxmx的两个根，且2，求实数m的取值范围。变式：关于x的方程012)1(22mxxm的两个根，一个小于0，一个大于1，求m的取值范围。例2：（动轴定区间）函数32)(2axxxf在区间2,1上是单调函数，则a的取值范围是？变式2：函数32)(2kxxxf在,1上是增函数，求实数k的取值范围。列3：（定轴动区间）求函数12)(2axxxf在2,0上的值域。变式3：已知函数2244)(22aaaxxxf在区间2,0上有最小值3，求实数a的取值范围。例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2xxxf，若)(xf在1,tt上的最小值为)(tg，求)(tg的表达式。第5页共6页变式4：已知二次函数)(xf满足)1()1(xfxf，且1)1(,0)0(ff，若)(xf在区间nm,上的值域是nm,，求nm,的值。例5：（恒成立问题）已知函数1)(2mxxxf，若对于任意1,mmx，都有0)(xf成立，求实数m的取值范围。变式5：已知函数1)(2mxxxf在)2,21(上恒大于0，求实数m的取值范围。三、课后练习1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。第6页共6页2、函数2220fxaxaxba在2,3上有最大值5和最小值2，求,ab的值。3、讨论函数21fxxxa的最小值。4、已知函数1)(2xmxxf的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。5、已知函数3)(2axxxf，当1,1x时，axf)(恒成立，求a的取值范围。