概率论与数理统计期末复习知识点

第一章随机事件及其概率•基本概念1.随机试验；2.样本空间；3.随机事件•事件间的关系1.子事件：AB2.和事件：A∪B3.积事件:AB4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=6.互逆事件:AB=，且A∪B=S•事件的运算法则1.交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A．4.德.摩根律(对偶原则)：设事件Ai(i=1,2,…,n)则niiiniAA112.结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．5.对必然事件的运算法则：A∪S=S,A∩S=A6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．ininiiAA11设E---随机试验，S---样本空间.事件AP(A),称为事件A的概率,如果P(•)满足下列条件:1°非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0；2°规范性:对于必然事件S,有P(S)=1；3°可列可加性:设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于则P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…,,2,1,,,jiAAjiji•概率公理化定义•概率性质(2)(有限可加性)若A1，A2，…An两两不相容，P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(1)P(φ)=0．(3)若AB，则有P(B–A)=P(B)–P(A);(5)逆事件：P(A)=1–P(A)，(4)对于任一事件A，有P(A)≤1，一般有P(B–A)=P(B)–P(AB)(6)(加法公式)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)1.定义：设E是试验，S是E的样本空间，若(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型．2.古典概型中事件A的概率的计算公式中基本事件的总数包含的基本事件数SAnkAP)(几个重要复杂事件概率计算公式1.条件概率0)(,)()()(APAPABPABP2.乘法公式niiiBPBAPAP1)()()(3.全概率公式112()()(),,,,()()iiinjjjPABPBPBAinPABPB4.贝叶斯公式)()()(BAPAPABP独立性1.事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)2.A1,A2,...,An两两相互独立P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，（1ijn）3.A1,A2,...,An相互独立（1）1≤i1i2...ik≤n,(k≤n),（2）1212()()()()kkiiiiiiPAAAPAPAPAnkknnkkAPAAAPAP121111)()(独立的性质:1.设A和B是两个事件,且P(A)＞0.若A和B相互独立,则P(B|A)=P(B).反之亦然.2.若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与B,A与B,A与B3.则A、B互斥与A、B相互独立不能同时存在.4.若事件A和独立,且则事件A和独立.)(jiBBjiiniB1,0)(,0)(BPAP),,2,1(niBi第二章随机变量及其分布1.随机变量的引入⁂定义：设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.⁂与普通实函数的区别：(1)它的定义域是样本空间S，而S不一定是实数集;(2)它的取值是随机的，所取每一个可能值都有一定的概率.⁂随机变量的分类：离散型/非离散型(连续型)2.离散型随机变量及其概率分布⁂定义:取有限个或可数个值的随机变量;⁂分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…其中pk满足：,0)1(kp.1)2(1kkp⁂常见分布：1）(0-1)分布：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p1)nk,...,2,1,02)二项分布：X∼b(n,p),)1(}{knkknkppCkXPp3)泊松分布：,...2,1,0,!}{kkekXPk)(~X3.随机变量的分布函数⁂定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{Xx}------称为X的分布函数对任意实数x1x212211111110{}()(){}(){}()()PxXxFxFxPXxFxPXxFxFx⁂分布函数的性质(1)有界性xxF,1)(0(2)F(x)是单调不减的,即若2121,xFxFxx则(3)1lim,0limxFFxFFxx(4)F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x)(1)离散型随机变量X的分布函数计算公式}{)(xXPxF}{xxkkxXPxdttfxF)()((2)连续型随机变量的分布函数的定义0)(.1xf21)(}{.321xxdxxfxXxP.)()()(.4的连续点，在xfxfxF1)(.2dxxff(x)的性质⁂三种重要的连续型随机变量(一)均匀分布其它，,0,1)(bxaabxf(二)指数分布0,00,1)(xxexfx(三)正态分布x,21)(222)(xexf⁂标准正态分布:X～N(0,1)2221)(xexdtexxt2221)(),(~2NX)1,0(~NXZx)(x)()(xxF1221}{xxxXxP4随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度方法：由随机变量X的概率密度去求随机变量Y=g(X)的概率密度(step1)求出Y的分布函数的表达式;(step2)由分布函数求导数，即可得到.)(xfX)(yfY第三章二维随机变量及其分布1.二维随机变量设E一随机试验,样本空间S={e},X、Y是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变(向)量.2.二维随机向量(X,Y)的分布函数),(),(yYxXPyxF性质：(1)F(x,y)是变量x和y的不减函数；(2)0F(x,y)1,且F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(,)=1,F(+,y)=FY(y),F(x,+)=FX(x)(3)F(x,y)关于x和y右连续;(4)对于任意x1x2,y1y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.3.边缘分布(){}{,}(,)XFxPXxPXxYFx(){}{,}(,)YFyPYyPXYyFy4.随机变量独立性的定义)()(),(yFxFyxFYX2Ryx),(2Ryx),(ippp211.联合分布律：),2,1,(,ˆ},{jipyYxXPijji离散型的二维随机变量(X,Y).1211jiijp101ijp性质：21jyyy212222111211ijiijjppppppppp21ixxxYXjppp212.边缘分布律ipjp13.独立性),2,1,(,jipppjiijyyxxijjipyxF),(4.分布函数2Ryx),(连续型的二维随机变量,0),(1yxf,1),(2dxdyyxfdudvvufyxFxy),(),(3。.),(,),(F),(42的连续点在yxfyxyxyxf.,),(}GY)P{(X,5是一平面区域GdxdyyxfG1.联合概率密度及性质),(),(xydudvvufyxF2.边缘概率密度X的边缘概率密度xdyyxfxfX,),()(()(,)()xxXXFxfxydydxfxdxY的边缘概率密度ydxyxfyfY,),()(边缘分布函数dyyfdydxyxfyFyYyY)(),()(3.独立性)()(),(yfxfyxfYX2Ryx),((3)若),(~21,1NX)(~22,2NY,且X与Y相互独立,则),(~22212,1NYXX+Y仍服从正态分布,且),(~1211niiniiniiNX且相互独立,则),,2,1(),(~2,niNXiii推广:若(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.(2)若,),,,,(~),(222121NYX0X与Y相互独立则,),,,,(~),(222121NYX(1)若),,(~X211N),(~Y222N则正态分布随机变量的一些常用性质),(~12211niiiniiiniiiaaNXa(1)Z=X+Y的分布分布函数:zyxZdxdyyxfzZPF),(}{)(z概率密度:dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(当X和Y相互独立:卷积公式dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfYX)()(两个随机变量的函数的分布(2)当X和Y相互独立时:M=max(X,Y)的分布函数)()(}{)(maxzFzFzMPzFYXN=min(X,Y)的分布函数}{)(minzNPzF)](1)][(1[1zFzFYX第四章随机变量的数字特征(一)数学期望(均值),2,1,}P{Xkpxkk(1-1)X:离散型.kkkpxXE1)(分布律:kkkpxgXgEYE1)()]([)(Y=g(X)（g为连续函数）函数：(1-2)若Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）(1-3)设(X,Y)离散型随机变量.分布律为：,2,1,}Y,P{XjipyxijjiijijijpyxgYXgEZE11),()],([)(则(2-1)Ｘ:连续型概率密度为f(x).dxxfxXE)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(Y=g(X)（g为连续函数）(2-2)函数：则(2-3)设(X,Y)是连续型随机变量,概率密度为f(x,y).若Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(dxdyyxfxXE),()(dxdyyxfyYE),()((总结)数学期望(均值)kkkpxXE1)(kkkpxgXgEYE1)()]([)(dxxfxXE)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(ijijijpyxgYXgEZE11),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(dxdyyxfxXE),()(dxdyyxfyYE),()(ijiijpxXE11)(ijiijpyYE11)((3)数学期望的性质:假设以下随机变量的数学期望均存在．1.E(C)=C,（C是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）3.E(XY)=E(X)E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)，反之不真。