高中数学必修二-圆的标准方程

一、选择题1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16[答案]C2．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4B．(－1,0)，22C．(0,1)，4D．(0，－1)，22[答案]D3．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)[答案]C4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．πB．2πC．4πD．8π[答案]C[解析]半径r＝4＝2，则面积S＝πr2＝4π.5．(2012～2013·安徽“江南十校”高三联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0[答案]D[解析]圆心C(3,0)，kPC＝－12，又点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴kMNkPC＝－1，∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.6．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116[答案]B[解析]圆心为AB的中点(1，－3)，半径为|AB|2＝126＋42＋－1＋52＝29，故选B.7．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离是()A.12B.32C．1D.3[答案]A[解析]先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得A答案．8．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆[答案]D[解析]方程y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，所以方程y＝9－x2表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分，是半个圆．二、填空题9．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则a、b、r满足的关系式为________．[答案]a2＋b2＝r2[解析]代入(0,0)得a2＋b2＝r2.10．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于________．[答案]85[解析]C(－4,3)，则d＝|－16＋9－1|42＋32＝85.11．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________．[答案](x－2)2＋(y＋1)2＝1[解析]圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.12．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________．[答案]x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20[解析]令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20.三、解答题13．求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．[解析]AB的中垂线方程是x－y＝0，解方程组x－y＝0，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心C(1,1)，则半径r＝|AC|＝2，所以圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.14．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．[解析](1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝12|AB|＝10.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.(2)解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x.即x－3y＋3＝0由x－3y＋3＝0，2x－y－4＝0.得x＝3，y＝2.即圆心坐标是C(3,2)．r＝|AC|＝3－12＋2＋22＝25.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系数法设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则1－a2＋－2－b2＝r2，－1－a2＋4－b2＝r2，2a－b－4＝0.⇒a＝3，b＝2，r2＝20.∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.[点评]∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x0,2x0－4)，∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|可求x0，即可求得圆的方程，自己再用此思路解答一下．15．(2012～2013·台州高一检测)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．[解析](1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a0，可得a＝10；(2)由两点间距离公式可得|PN|＝3－52＋3－62＝13，|QN|＝5－52＋3－62＝3，因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一个在圆内、另一个在圆外，由于313，所以3a13.即a的取值范围是(3，13)．16．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．[解析](1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由x－3y－6＝0，3x＋y＋2＝0，解得点A的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又|AM|＝2－02＋0＋22＝22，从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.