§2.4.2抛物线的简单几何性质X定义:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(,2pyx2=-2py(p0))2p0(,2py一、温故知新范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px(p0)220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px(p0)的几何性质?抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px,顶点3、yox)0,2(pF定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中,令y=0,则x=0.即:抛物线y2=2px(p0)的顶点(0,0).注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率。由定义知,抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。(二)归纳:抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0))0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大,开口越开阔补充(1)通径:通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=|x0|+p/2xOyFP通径的长度:2PP越大,开口越开阔(2)焦半径:连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式:),(00yx(标准方程中2p的几何意义)利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。(3)焦点弦:通过焦点的直线与抛物线相交于两点,连接两点的线段。焦点弦公式:F|=|AB|=|x1+x2|+p因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,),22解:所以设方程为:)0(22ppxy又因为点M在抛物线上:所以:2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为:24yx22三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,),求它的标准方程.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例2、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长。l24yxAA`B`BFOxy1.已知M为抛物线上一动点,F为抛物线的焦点,定点P(3,1),则的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6MFMPxy42B.)0,1(F3xM.N.M.P变式训练:四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的,等于1;抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;抛物线的通径为2P,2p越大,抛物线的张口越大.1、范围:2、对称性:3、顶点:4、离心率:5、通径:24l例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水下降1米后,水面宽多少?xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只,能否安全通过拱桥?思考题2BA(2,-2)x2=-2y6xB(1,y)y=-0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=-3代入得26水面宽