向量数乘运算及其几何意义公开课

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量1.向量加法三角形法则:aABbCabaAbBOCab特点:首尾相接，连首尾特点:同一起点,对角线babBaABAabO2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:问题提出：1位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。位移与速度的关系svt=（初速度为o）。这些公式都是实数与向量间的关系。2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.思考：已知非零向量,作出和,你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaaaBACOaaaNMQPaaa思考：已知非零向量,作出和,你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaaaBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaaPNPQQMMNaaa（）（）（）3a-记作3a记作一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，aa||||||;aa（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：设为实数，那么,(1)()();(2)();(3)().aaaaaabab特别的，我们有()()(),().aaaabab向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有ab，1212().abab12,,结合律分配律分配律二：运算律：仍是向量例1.计算：34322332();()();()().(1)(2)(3)aababaabcabc13412()()aa　原式233225()ababab　原式解:例题讲解3233252()abcabcabc　原式2263)3(342);3()2(2)4()0.abcabcxaxaxabx计算:(1)（　　（2）已知　　求141269126abcabc解：（）原式13a233244440xaxaxab（）由已知得：34xab340xab即　练习:?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立课本P90,ex.5练一练:思考：三：向量共线定理0.),(,ababa向量与共线当且仅唯一一个当有实数使思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?bab即与共线ba(0)a（重点）课本P90,ex.4练一练:例2.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO解:2-()3-()2ABOBOAababbACOCOAababb2ACAB,,ABC故三点共线,且有公共点Ａ证明三点共线的方法:小结:AB=λBC且有公共点ＢA,B,C三点共线121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.如图：已知，，试判断与是否共线．ABAD3BCDE3ACAEABDECBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：导学案ABCMabD,,,,,,.ABCDMABaADbabMAMBMCMD例4.如图,的两条对角线相交与点且用表示和111222MCACab1111()2222MDMBDBabab1111()2222MAACabab　1111()2222MBDBabab:.ABCDACABADabDBABADab解在中()如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD　　11221122Ａ．BCBA　　　　　Ｂ．BCBA　C．BCBA　　　　　Ｄ．BCBA练习:DCBA练习：ΔABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上的点，且2BEBC=，是根据下列要求表示向量DE：用BA、BC表示；（2）用CA、CB表示题1EDCBA例5四边形ABCD满足条件DCAB，试判断其的形状并证明。变式（1）若将条件改为AD=31BC，其形状如何？加以证明。（2）若将条件改为BCAD，ADAB，其形状如何？加以证明。（3）将条件改为AC=AB+AD，其形状如何？加以证明.二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线三、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBC且有公共点Ｂ3.证明两直线平行:AB=λCDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CDA,B,C三点共线AB∥CD二、①的定义及运算律a②向量共线定理(0)aba向量与共线ab教材P91ex.2.2A组9、10、12、13和B组3；课后作业12124eeeke解：　和2　向量共线12124,()ekeee存在实2　使得　数8k　　24k12124ekeee即2的值求实数共线和是两个不共线向量而设kk24,212121，eeeeee