浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用

浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数化，从而在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。【关键词】：数形结合直观形象解题一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到以下四点：1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。四、下面我们从几个方面谈谈怎样用数形结合的思想方法解题若能有意识的开发和利用解析几何中的“形”，我们会发现它在方程、不等式、函数、三角、复数、集合等代数分支中也有不俗的表现，它往往比用纯代数理论进行的抽象的推算要简捷明朗得多。（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例题：（1）设函数0,2,0,)(2xxcbxxfx若,2)2(),0()4(fff则函数xxfxgy)()(的零点个数为。（2）使1)(log2xx成立的x的取值范围是。解析:（1）由)0()4(ff得ccb416由,2)2(f得.224cb联立两方程解得：.2,4cb于是，.0,2,0,24)(2xxxxxf在同一直角坐标系内，作出函数xyxfy与函数)(的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点。（2）在同一坐标系中，分别作出1),(log2xyx的图象，由图可知，x的取值范围是.0,1探究提高（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。（2）解不等式问题经常联系函数图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上下位置关系转化数量关系来解决不等式的解得问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称xyABC0yx11y0x性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。（二）数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例题：已知函数,0,2,0,12)(2xxxxxfx若函数mxfxg)()(有3个零点，则实数m的取值范围为。思维启迪作出分段函数)(xf的图象，观察图象与my的交点个数。函数0,2,0,12)(2xxxxxfx0,11,0,122xxxx画出其图象如图所示，又由函数mxfxg)()(有3个零点，知myxfy与)(有3个交点，则实数m的取值范围是1,0。探究提高解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题。在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁。（三）运用数形结合思想解决函数问题加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量关系联系起来，可使复杂问题具体化，达到化难为易，解决问题的目的。例题：已知实数yx,满足求：07622xyx（1）xy的最值；（2）xy的最值；（3）yx22的最值。分析：这是条件最值问题，若采用消元法，则较复杂，但我们注意到方程07622xyx等价于,2223yx表示圆心在0,3，半径为2的圆，而xy的几何意yx1110my义是圆上一点与原点连线的斜率。令bxy，则b是bxy在轴上的截距，yx22是圆上一点与原点的距离的平方。为此可借助于几何知识，通过数形结合解决。解：条件;207622223yxyxx表示圆心0,3，半径为2的圆。（1）设kxyxyk即,。由图可知，当直线kxy与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值。此时，21032kk，解得72;72,72minmaxxyxyk所以。（2）设,bxy即bxy。当bxy与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值。由图，此时5,1,2203bbb解得所以5,1minmaxxyxy。（3）yx22表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知，原点与圆心的两个交点处取得最大值和最小值，即线段OBOA,.（四）数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例题：已知P是直线0843yx上的动点，PA、PB是圆012222yxyx的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。思维启迪xkxy3030yxbxybb3xy02322yxAByACPy在同一个坐标系中画出直线与圆，做出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积SSSSPACPBCPACPACB2四边形,把SPACB四边形转化为2倍的SPAC可以有以下多条数形结合的思路。解：方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线0843yx向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积PAACPAsPAC2121越来越大，从而SPACB四边形也越来越大；当点P从左上、右下两方向向中间运动时，SPACB四边形变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线，SPACB四边形应有唯一的最小值，此时3814134322PC,从而.2222ACPAPA.22212)(minACPAPACBS四边形方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为),(yx，则,1122yxPC由勾股定理及1AC,得1112222yxACPCPA从而121221122yxSSPAACPAPACPACB四边形从而欲求SPACB四边形的最小值，只需求PA的最小值，只需求11222yxPC的最小值，即定点1,1C与直线上动点yxP,距离的平方的最小值，它也就是点1,1C到直线0843yx的距离的平方，这个最小值98141343222d，2219minSPACB四边形。方法三利用函数思想，将方法二中11122yxSPACB四边形中的y由画出对应图形利用数形结合明确所求求解得结果xB0843yx0843yx解出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得.22minSPACB四边形.探究提高本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决。（五）运用数形结合思想研究复数问题复数的几何意义用向量表示，把复数与平面几何和解析几何有机地联系起来，复数几何意义充分体现了数形结合的思想方法。例题：如果复数z满足的最小值那么1,2iziziz（）。A.1B.2C.2D.5解：iziz和分别表示复数z在复平面上的对应点到ii和的距离。有2iziz。表示复数z的点的集合石虚轴上点ii到点之间的线段（包括端点）；另一方面)1(1iziz表示z对应的点到i1对应点的距离。由图可见，当iz时，1iz取得最小值为1。所以应选A。探究提高：本题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y关系，转化为一元函数，按照求二次函数的最值的方法求解，这个解法虽有遵循操作程序，但对解题过程中出现情况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，而且解题过程很长，而用数形结合的思想方法，则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，在很短时间内就能直观地看到十分简捷的解题途径直接获得可靠地结果，这对只要写出结果的选择和填空题中，有显著的优越性，当这种机会出现时，应是首选的解题方法。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设yx11iii1复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。总之，类似上述的题目很多，经常做这样的训练，对于培养学生的学习兴趣，提高解题能力是很有帮助的，总之凡是涉及到几何图形或具有几何意义的数学问题都应让学生考虑先从几何图形的关系上分析问题，从“形数”结合上逐步推理的好习惯。这样做既可以培养对“形数”两方面的分析能力又可迅速的估计出答案或答案的大致情形以寻找并发现解答问题的途径，有时还可以防止和纠正某些计算错误。高考十分重视对于数学思想方法的考查，我们要有意识的运用数学思想方法去分析问题和解决问题，形成能力，提高数学素养。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。