哈工大断裂力学讲义ch2

1第二章应力强度因子的计算2计算值的几种方法K1.数学分析法:复变函数法、积分变换；2.近似计算法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.3§2-1三种基本裂纹应力强度因子的计算一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算0lim2KZⅠⅠ计算的基本公式K1.在“无限大”平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,距离处各作用一对集中力P2axbReImxZyZⅠⅠReImyZyZⅠⅠRexyyZⅠ选取复变解析函数：22222()pzabZzb4边界条件：,0xyxyz,za除去处裂纹为自由表面上zb0,0yxy如切出坐标系内的第一象限的薄平板，在轴所在截面上内力总和为Pxyx以新坐标表示22222()[()](2)paabZaba2202lim2()()paKZabⅠ52.在无限大平板中,具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,在距离的范围内受均布载荷q作用2a1xa利用叠加原理集中力qdx222()qadKdxaxⅠ2202()aqaKdxaxⅠ令22coscosxaaxacosdxad6111sin()10cos22sin()cosaaaaaaaKqdqaⅠ当整个表面受均布载荷时12sin()aaaKqqaⅠ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在轴上有一系列长度为,间距为的裂纹x2a2b单个裂纹时22zZza7边界条件是周期的:,yxz0,,22yaxaabxab0,0yxy22sin2(sin)(sin)22zbZzabb8采用新坐标:za22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb当时，0sin,cos1222bbbsin()sincoscossin22222aaabbbbbcossin222aabbb2222[sin()]()cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb22[sin()](sin)2cossin22222aaaabbbbb90sin22cossin222abZaabbb0sin2lim22tan21cossin222aabKZbbaabbbⅠ2tan2baaab2tan2wbaMab取--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对的影响KⅠ若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.2125ab10二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):0lim()2KZⅡ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.22sin2()(sin)(sin)22zbZzzabb22sin()2()[sin()](sin)22abZaabb1102lim2()tan2baKZaabⅡ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):0lim2()KZⅢ4.Ⅲ型周期性裂纹:2tan2baKaab12§3-2深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年,格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变得到椭圆表面上任意点,沿方向的张开位移为y1222022(1)xzyyac其中:202(1)ayE第二类椭圆积分131222220[sin()cos]adc1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子原裂纹面11cos,sinzx222222221111221xzcxazacac2222sincosacca14假设:椭圆形裂纹扩展时rf1f2222sincosrrfcaac边缘上任一点有(,)pxz1()sin(1)sin(1)xrffx1()cos(1)zrfz11(,),(,)pxzpxz均在的平面内0y222242222(1)cxazfacac15新的裂纹面仍为椭圆长轴(1)cfc短轴(1)afa22002(1)2(1)(1)(1)afayfyEE原有裂纹面:222220()1xzyacy扩展后裂纹面:222220()1xzyacy以，代入1xx1zz原有裂纹面的边缘向位移yy162222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc2222221111112222221(12)(12)12()xzxzxzfffacacac2f2222200022(1)2yfyffyfy2222sincosrfcaac22222202sincosryycaac17设各边缘的法向平面为平面应变,有:3[(21)sinsin]4222KrvkGⅠ34k当时，24(1)2rvKEⅠ2222222202216(1)sincos2IryrcaKacE2222222021E()sincos41IKycaac18202(1)ayE14122222()(sincos)IaKcac在椭圆的短轴方向上，即，有2IImaxKK--椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当时，2ac2IKa--圆片状深埋裂纹应力强度因子19§3-3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面线裂纹的应力强度因子欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹与深埋椭圆裂纹的之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的值之比IKIKIKIKIIIIKKKK表边埋中1220.1sin(1)tanIIAKWAKW边中又有裂纹长度板宽度20当时，1AW22sinAAWWtanAAWW1.21.1IIKK边中1.1IIKK表埋1.161.1IIaKK埋表--椭圆片状表面裂纹A处的值IK21二、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面使裂纹尖端的弹性约束减少裂纹容易扩展增大IK()IIKMeK表面（埋藏）弹性修正系数，由实验确定一般情况下12MeMM前自由表面的修正系数后自由表面的修正系数221.巴里斯和薛0ac时，接近于单边切口试样11.12M1ac时，接近于半圆形的表面裂纹11M利用线性内插法110.12(1)aMc利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数1222(tan)2BaMaB板厚裂纹深度浅裂纹不考后自由表面的影响232.柯巴亚希.沙.莫斯2110.12(1)2aMc1222(tan)2BaMaB表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）IaKMe24§2-4其他问题应力强度因子的计算一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算复变数：iyxziyxz取复变解析函数：()xzpiq11()zpiq取应力函数2()()()()zzzxzzxzRe[()()]zzxz或满足双调和方程25分析第一应力不变量22'224Re[()]xyxzxy对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：'ReImxIIZyZ'ReImyIIZyZ||0||0||0()2Re2Re2IxyIIKZⅡ型：'2ImRexIIIIZyZ'ReyIIyZ000()|2Im|2Im|2xyKZⅡⅡⅡ26Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量000()|2Re|2Im|22xyKKⅠⅡⅠⅡ012Re[()]|2KiKⅠⅡ取复数形式的应力强度因子KKiKⅠⅡ00()|2Re()|2xyKⅠⅡ()4Re[()]xyxZ又0lim22()KxZ27若采用22lim()zaZaKZaxZ选择满足具体问题的应力边界条件()xz1144()()()()fFZFZZFZZFZ---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.28二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况应看成有限宽计算.必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解.通过近似的简化或数值计算方法.方法:边界配置法,有限单元法等.边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,担不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定值.K边界配置法:只限于讨论直边界问题.291.威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams应力函数121(1)2(,)[cos(1)cos(1)]2212jjjjjjjrCrj满足双调和方程边界条件:裂纹上、下表面2yxy,均为零在边界上的边界条件的满足如下确定:在有限宽板的边界上选取足够的点,使这一点的边界条件满足.30为了计算方便引入无量纲量2jjjDCBWp试件厚度试件宽度121(1)2(,)[cos(1)cos(1)]2212jjjjjpWrjjrDjBW221(,)yjjjpDArxBW12{[2(1))]cos(1)(1)cos(3)]}22222jjjrjjjjjAW221(,)xjjjpDBryBW21(,)xyjjjpDErxyBW312.的计算K针对Ⅰ型裂纹3cos(1sinsin)2222xKrⅠ3cos(1sinsin)2222yKrⅠ当时,02yxKrⅠ0r00lim2|yrKrⅠ当时,,当=1时,在乘后与无关.而当=2,3…时,在乘之后与有关,当都为零0j2rcos1j2rrr0r321210111lim(){(21)1(1)1}222rprKDBWWⅠ12pDBW3.借用无裂纹体内的边界条件求系数jD取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的.取个点分析,以有限级数代替无限级数精度足够.m2m33对于不同的点有2111[]myjjyjpDABW12111[]mxyjjxyjpDEBW()paKFBWWⅠ1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()aaaaaaF其中标准试件4sW34§3-5确定应力强度因子的有限元法不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的.一些实验方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.K一.位移法求应力强度因子Ⅰ型:3(,)[(21)coscos]4222KrurkGⅠ3(,)[(21)sinsin]4222Kr