函数大题精选

1例5．函数()fx对一切实数x，y均有()()(21)fxyfyxyx成立，且(1)0f，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有12()2logafxx成立时，求a的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)fxyfyxyx，令1x，0y得(1)(0)2ff，又∵(1)0f，∴(0)2f．（2）由()()(21)fxyfyxyx，令0y得()(0)(1)fxfxx，由（1）知(0)2f，∴2()2fxxx．∵11(0,)2x，∴22111111()2()24fxxxx在11(0,)2x上单调递增，∴13()2(0,)4fx．要使任意11(0,)2x，21(0,)2x都有12()2logafxx成立，当1a时，21loglog2aax,显然不成立．当01a时，21loglog2aax，∴0113log24aa，解得3414a∴a的取值范围是34[,1)4．例2．（1）已知3311()fxxxx，求()fx；（2）已知2(1)lgfxx，求()fx；（3）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx；（4）已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．2解：（1）∵3331111()()3()fxxxxxxxx，∴3()3fxxx（2x或2x）．（2）令21tx（1t），则21xt，∴2()lg1ftt，∴2()lg(1)1fxxx．（3）设()(0)fxaxba，则3(1)2(1)3332225217fxfxaxabaxabaxbax，∴2a，7b，∴()27fxx．（4）12()()3fxfxx①，把①中的x换成1x，得132()()ffxxx②，①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．例4．已知函数()yfx是定义在R上的周期函数，周期5T，函数()(11)yfxx是奇函数．又知()yfx在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5．①证明：(1)(4)0ff；②求(),[1,4]yfxx的解析式；③求()yfx在[4,9]上的解析式．解：∵()fx是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)fff，又∵()(11)yfxx是奇函数，∴(1)(1)(4)fff，∴(1)(4)0ff．②当[1,4]x时，由题意可设2()(2)5(0)fxaxa，由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa，∴2a，∴2()2(2)5(14)fxxx．③∵()(11)yfxx是奇函数，∴(0)0f，又知()yfx在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)fxkxx，而32(1)2(12)53f，∴3k，∴当01x时，()3fxx，从而当10x时，()()3fxfxx，故11x时，()3fxx．∴当46x时，有151x，∴()(5)3(5)315fxfxxx．当69x时，154x，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5fxfxxx∴2315,46()2(7)5,69xxfxxx．例1．求下列函数的值域：（1）232yxx；（2）265yxx；（3）312xyx；（4）41yxx；（5）21yxx；（6）|1||4|yxx；（7）22221xxyxx；（8）2211()212xxyxx；（9）1sin2cosxyx解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法）2212323323()61212yxxx，∴232yxx的值域为23[,)12．改题：求函数232yxx，[1,3]x的值域．解：（利用函数的单调性）函数232yxx在[1,3]x上单调增，∴当1x时，原函数有最小值为4；当3x时，原函数有最大值为26．∴函数232yxx，[1,3]x的值域为[4,26]．（2）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y．又∵2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]．（3）（法一）反函数法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy．4（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx，∵702x，∴7332x，∴函数312xyx的值域为{|3}yRy．（4）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]．说明：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（5）三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]．（6）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)．（7）判别式法：∵210xx恒成立，∴函数的定义域为R．由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时，∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，5∴原函数的值域为[1,5]．（8）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx，∵12x，∴102x，∴1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立．∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2．（9）（法一）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3．（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆221xy上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．若关于x的方程|3|2(22)3xa有实数根，求实数a的取值范围．解：原方程可化为|3|2(22)3xa，令|3|2xt，则01t，2()(2)3aftt，又∵()aft在区间(0,1]上是减函数，∴(1)()(0)fftf，即2()1ft，故实数a的取值范围为：21a．例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元(0)t之间满足：3x与1t成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．6（1）将2003年的年利润y万元表示为年促销费t万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：31kxt，且0t时，1x，∴2k，即231xt，∴年生产成本为2[32(3)3]1t万元，年收入为21150%[32(3)3]12tt．∴年利润212{150%[32(3)3]}[32(3)3](0)121yttttt，∴29835(0)2(1)ttytt．（2）由（1）得2(1)100(1)6413213250()502422(1)2121ttttyttt，当且仅当13221tt，即7t时，y有最大值42．∴当促销费定为7万元时，2003年该化妆品企业获得最大利润．例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx；（2）22lg(1)()|2|2xfxx；（3）22(0)()(0)xxxfxxxx．解：（1）由101xx，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴()fx为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20xx得定义域为(1,0)(0,1)，∴22lg(1)()(2)2xfxx22lg(1)xx，∵2222lg[1()]lg(1)()()xxfxxx()fx∴()fx为偶函数（3）当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，当0x时，0x，则22()()()()fxxxxxfx，综上所述，对任意的(,)x，都有()()fxfx，∴()fx为奇函数．7例2．已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，（1）求证：()fx是奇函数；（2）若(3)fa，用a表示(12)f．解：（1）显然()fx的定义域是R，它关于原点对称．在()()()fxyfxfy中，令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，∴(0)0f，∴()()0fxfx，即()()fxfx，∴()fx是奇函数．（2）由(3)fa，()()()fxyfxfy及()fx是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa．例3．（1）已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，则()fx的解析式为33(1),0()(1),0xxxfxxxx．例4．设a为实数，函数2()||1fxxxa，xR．（1）讨论()fx的奇偶性；（2）求()fx的最小值．解：（1）当0a时，2()()||1()fxxxfx，此时()fx为偶函数；当0a时，2()1faa，2()2||1faaa，∴()(),()(),fafafafa此时函数()fx既不是奇函数也不是偶函数．（2）①当xa时，函数2213()1()24fxxxaxa，若12a，则函数()fx在(,]a上单调递减，∴函数()fx在(,]a上的最小值为2()1faa；若12a，函数()fx在(,]a上的最小值为13()24fa，且1()()2ffa．②当xa时，函数2213()1()24fxxxaxa，若12a，则函数()fx在[,)a上的最小值为13()