75专升本高数复习笔记--经典

黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网1第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网2y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、例题分析例1.求下列函数的定义域：⑴211)(2xxxf解:对于211x有:21x≠0解得:x≠±1对于2x有:2x≥0x≥－2∴)(xf的定义域:,11,11,2x⑵xxf2ln1)(解:由x2ln1得：02lnx，解得:1x由x2ln得：x2＞0，x＜2∴)(xf的定义域:2,11,x例2.设f(x)的定义域为（-1，1）则f(x+1)的定义域为A.(-2,0),B.(-1,1),C.(0,2),D.[0,2][]黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网3解：∵-1＜x+1＜1∴-2＜x＜0即f(x+1)的定义域为:x∈(-2,0)应选A.例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为A.xxf)(,2)(xxgB.2)(xxf，xxg)(C.2ln)(xxf，xxgln2)(D.xxfln)(，xxgln)(21[]解：A.,)(fD，,0)(gDB.,)(fD，,)(gD00)(2xxxxxxf00)(xxxxxxg应选BC.,00,)(fD，,0)(gD黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网4D.,0)(fD，,00,)(gD例4.求)3(log2xya，)1,(aa的反函数及其定义域。解：∵)3(log2xya，)1,(aa∴,3x，,y∵在(-3,+∞)内，函数是严格单调的32yax∴反函数：3)(21xaxfy,3,yx例5.设0,1,1)(2xxxf则其反函数)(1xf。解：∵1,0,0,1,12yxxy在0,1内)(xf是严格单调增加的∴21yx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网5又∵0,1x∴取21yx即：211)(xxfy0,1,1,0yx（应填21x）例6.设函数)(1xf和)(2xf是定义在同一区间)(fD上的两个偶函数，则)()(21xfxf为函数。解：设)()()(21xfxfxF∵)()()(21xfxfxF=)()()(21xFxfxf∴)()(21xfxf是偶函数（应填“偶”）例7.判断)1ln()(2xxxf的奇偶性。解:∵])(1ln[)(2xxxf)1ln(2xx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网62221)1)(1(lnxxxxxx222211ln11lnxxxxxx12)1ln(xx)()1ln(2xfxx∴)(xf为奇函数例8.设xxfcos)(，则)(xf的周期为。解法一:设)(xf的周期为T,)cos()](cos[)(TxTxTxf=xxfcos)(∴xTxcoscos黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网7而uucos2cos∴2T，∴2T解法二：∵xxfcos)()2cos(x)2(cosx)2(xf∴2T(应填2)例9.指出函数)1sin(ln)(xxf那是由些简单函数复合而成的？解：令)1sin(lnxu，则uuf)()1sin(xv，则vuln1xw，则wvsin∴)(xf是由：uuf)(，vuln，wvsin，1xw复合而成的。黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网8例10.已知xexgxxf)(,)(3,则)]([xgf等于A.xe3,B.3xe,C.3xe,D.3ex[]解:∵xexgxxf)(,)(3∴xxxeeefxgf33)()()]([或xxeexgxgf333)()]([)]([（应选A）例11.已知xxfxxf)]([),1ln()(求)(x的表达式。解:∵xxxf)](1ln[)]([解得xex)(1∴1)(xex§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:Aynnlim称数列ny以常数A为极限;或称数列ny收敛于A.黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网9定理:若ny的极限存在ny必定有界.2.函数的极限：⑴当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim⑵当0xx时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X再某个变化过程是指：,,,xxx000,,xxxxxx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网102．无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf4．无穷小量的比较：0lim,0lim⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若clim（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211~~则：2121limlim㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网11设：nnnzxy（n=1、2、3…）且：azynnnnlimlim则：axnnlim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00则：Axfxx)(lim0㈣极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)((limxv推论：①)]()()(lim[21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网12②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[㈤两个重要极限1．1sinlim0xxx或1)()(sinlim0)(xxx2．exxx)11(limexxx10)1(lim二、例题分析例1．求数列45,34,23,12的极限。解：nnnny11111limlim1nnnny例2．计算nnnn3321lim2解：∵2)1(321nnn∴nnnnnnnnn3)1(lim3321lim2212nnnnnnnn11)3()1(lim2131lim21黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网132111lim2131nnn误解：nnnn3321lim2nnnnnnnnnn33332312222lim31333231limlimlimlim222nnnnnnnnnnn=0例3．下列极限存在的是A.,lim12xxxB.,lim2)1(xxxxC.,lim121xxD.,limxxe[]解：A.xxxxxx11limlim2B.11limlimlim1)1()1(22xxxxxxxxxx11limlimlim1)1()1(22xxxxxxxxxx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网14∴2)1(limxxxx不存在C.0lim121xx应选CD.xxelim0limlim1xexxxe∴xxelim不存在例4.当x时，)(xf与x1是等价无穷小量，则)(2limxxfx。解：∵xxxf1~)(∴22lim12lim)(2limxxxxxxxf(应填2)例5.计算!2limnnn(n=1,2,3,……)解:nnnn212322212!2黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网15∵11232220n04212nn(n=2,3,……)∴nnn42123222120又:00limn04limnn由两面夹定理可得:02322212lim!2limnnnnn∴0!2limnnn例6.计算下列极限⑴323lim243xxxxx解:4412413243323lim323limxxxxxxxxxxxx黑龙江专升本服务网黑龙江专升本服务网1601lim424331231xxxxxx⑵12lim21xxxx解:12lim21xxxx32lim121lim11xxxxxx⑶22011limxxx解法一:共轭法2222000220111111lim11limxx