雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第八章平面解析几何8.4

8．4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲点击1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.说基础课前预习读教材考点梳理一、直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式――→判别式Δ＝b2－4acΔ＞0⇔①Δ＝0⇔②Δ＜0⇔③(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.3．直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．二、两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)的圆心距为d，则1．d＞r1＋r2⇔两圆⑨______；2．d＝r1＋r2⇔两圆⑩______；3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪______；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫______；5．0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬______答案：①相交②相切③相离④相交⑤相切⑥相离⑦x0x＋y0y＝r2⑧d2＋l22⑨外离⑩外切⑪相交⑫内切⑬内含考点自测1.若直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：直线xa＋yb＝1可化为bx＋ay－ab＝0，∵直线与圆有公共点，∴d≤r，即|ab|a2＋b2≤1⇒a2＋b2≥a2b2⇒1a2＋1b2≥1.故选D.答案：D2．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.3或－3B．－3或33C．－33或3D．－33或33解析：圆的方程可以转化为(x－1)2＋y2＝(3)2，于是，利用圆心(1,0)到直线的距离等于圆的半径3，得|3＋m|3＋1＝3，即|3＋m|＝23，解得m＝3，或m＝－33.答案：C3．已知M，N分别是圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的两动点，则|MN|的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：两圆心分别为C1(－3,0)和C2(0,4)，半径分别为2和1，圆心距|C1C2|＝5，故两圆相离，|MN|的最小值为|C1C2|－2－1＝2，故选B.答案：B4．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是()A．k∈(－2，2)B．k∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．k∈(－3，3)D．k∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：方法一：x2＋y2＝1，y＝kx＋2⇒(1＋k2)x2＋4kx＋3＝0，Δ＝(4k)2－4×3×(1＋k2)＜0⇔k2＜3⇔－3＜k＜3.故选C.方法二：直线过点A(0,2)在圆外，要使直线与圆无公共点，只需d＝|0－0＋2|1＋k2＞1，即k2＜3，∴k∈(－3，3)．故选C.答案：C5．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l距离的最小值为__________．解析：由数形结合可知：所求最小值为圆心到直线的距离减圆的半径．由圆心C(1,1)到直线x－y＋4＝0的距离d＝|1－1＋4|2＝22，故最小值为22－2＝2.答案：2说考点拓展延伸串知识疑点清源一、圆的切线方程的求法1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．【说明】过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．二、直线被圆截得弦长的求法1．几何方法运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.2．代数方法设直线y＝kx＋m与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相交于A，B两点，将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于x的方程，求出xA＋xB，xA·xB，则|AB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xA·xB].题型探究题型一直线和圆相交例1已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：无论m取何实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．解析：(1)证明：将直线l变形，得m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0.对任意实数m，方程成立，∴2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0.解得x＝3，y＝1.∴对任意实数m，直线l恒过定点A(3,1)．又∵|AC|＝5＜5，∴A在圆C内．∴对任意实数m，直线l与圆恒相交于两点．(2)kAC＝－12.由平面几何定理得kl＝2，由点斜式得y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0为被圆截得的线段最短时的直线方程．此时最短弦长为225－5＝45.点评：此题若不认真分析，单从题的表面内容找关系，对(1)，可能会证明圆心到直线的距离小于半径；对(2)，可能会先求弦长，再求弦长的最小值．沿此思路解题，将出现繁琐的代数式变形．因此在解题时，要认真审题．变式探究1已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆分别相交、相切、相离时，求实数m的取值范围；(2)当实数m取何值时，圆被直线截得的弦长为2510？解析：(1)圆的方程即为(x－3)2＋y2＝4，圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝61＋m2，当d＜r，即61＋m2＜2，m＜－22或m＞22时，直线与圆相交；当d＝r，即61＋m2＝2，m＝±22时，直线与圆相切；当d＞r，即61＋m2＞2，－22＜m＜22时，直线与圆相离．(2)由垂径定理得：1052＝4－d2⇒d2＝185.∴由61＋m22＝185，得m＝±3.即m＝±3时，截得的弦长为2510.题型二圆的切线例2已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．解析：(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求．点评：圆的切线的求法：①过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.②过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：〈i〉几何方法．当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．〈ii〉代数方法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．变式探究2自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．解析：已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．可设光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)，∵直线l与圆C′相切，∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离d＝|5k＋5|1＋k2＝1，解得k＝－34或k＝－43.∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.题型三圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解析：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为2112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.点评：应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定，从而确定切线的条数．求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可．变式探究3圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解析：(1)由两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程x＋y＋1－22＝0.(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r22，∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.①作O1H⊥AB，则|AH|＝12|AB|＝2，O1H＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r22－12|42＝2，得r22＝4或r22＝20，故圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.归纳总结•方法与技巧1．过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种．(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．2．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．4．求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|－r，最大值为|PO|＋r(其中r为圆O的半径)．•失误与防范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．注意利用圆的性质解题，可以简化计算．例如，求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大距离利用两点的距离减去或加上圆半径就很简便.新题速递1.(2012·辽宁卷