雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第八章平面解析几何8.6

8．6双曲线考纲点击1.掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.2.掌握双曲线的几何性质．3．了解双曲线的一些实际应用.说基础课前预习读教材考点梳理一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的①__________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1、F2叫做双曲线的②______，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的③______.二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围④____________⑤____________对称性对称轴：⑥__________对称中心：⑦__________对称轴：⑧__________对称中心：⑨__________顶点顶点坐标：A1⑩______，A2⑪______顶点坐标：A1⑫______，A2⑬______渐近线⑭__________⑮__________性质离心率e＝⑯________，e∈(1，＋∞)其中c＝⑰________性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝⑱______；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝⑲______；a叫做双曲线的实半轴，b叫做双曲线的虚半轴a、b、c关系c2＝⑳__________(c＞a＞0，c＞b＞0)答案：①绝对值②焦点③焦距④x≥a或x≤－a⑤y≥a或y≤－a⑥x轴、y轴⑦坐标原点⑧x轴，y轴⑨坐标原点⑩(－a,0)⑪(a,0)⑫(0，－a)⑬(0，a)⑭y＝±bax⑮y＝±abx⑯ca⑰a2＋b2⑱2a⑲2b⑳a2＋b2考点自测1.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.22，0B.52，0C.62，0D．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，故右焦点坐标为(62，0)．答案：C2．设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1解析：双曲线x2a2－y29＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.答案：C3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：双曲线方程可变为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2，2a＝4.答案：C4．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B．2C.52D．3解析：依题意得tan60°＝2bc，cb＝23，因此该双曲线的离心率是ca＝cc2－b2＝2，选B.答案：B5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________．解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c＝7，e＝274＝ca，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是x24－y23＝1.答案：x24－y23＝1说考点拓展延伸串知识疑点清源1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．2．与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的形状与e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.题型探究题型一双曲线定义的应用例1已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解析：设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2，∴|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，∴点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．点评：本题是典型的定义法求轨迹，解时要注意：|FA|－|FB|＝2，没有“绝对值”，因此，它仅是双曲线的下半支．变式探究1已知双曲线Cx29－y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A．24B．36C．48D．96解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于12×16×102－1622＝48，选C.答案：C题型二求双曲线的标准方程例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：方法一：(1)双曲线x29－y216＝1的渐近线为y＝±43x，可判定点(－3,23)在两直线y＝±43x所分区域的包含x轴的区域内，所以焦点在x轴上．设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4(k＝－14舍去)，所以双曲线方程为x212－y28＝1.点评：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，则可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．变式探究2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.解析：(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知：2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.题型三双曲线的性质例3双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|OA→|，|AB→|，|OB→|成等差数列，且BF→与FA→同向．(1)求双曲线的离心率；(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解析：(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右焦点为F(c,0)(c＞0)，则c2＝a2＋b2.不妨设l1：bx－ay＝0.l2：bx＋ay＝0.则|FA→|＝|b×c－a×0|a2＋b2＝b，|OA→|＝OF2－AF2＝a.因为|AB→|2＋|OA→|＝|OB→|2，且|OB→|＝2|AB→|－|OA→|，所以|AB→|2＋|OA→|2＝(2|AB→|－|OA→|)2，于是得tan∠AOB＝|AB→||OA→|＝43，又BF→与FA→同向，故∠AOF＝12∠AOB.所以2tan∠AOF1－tan2∠AOF＝43.解得tan∠AOF＝12或tan∠AOF＝－2(舍去)因此ba＝12，a＝2b，c＝a2＋b2＝5b，所以双曲线的离心率e＝ca＝52.(2)由a＝2b知，双曲线的方程可化为x2－4y2＝4b2.①由l1的斜率为12，c＝5b知，直线AB的方程为y＝－2(x－5b)．②将②代入①并化简，得15x2－325bx＋84b2＝0.设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝325b15，x1·x2＝84b215.③AB被双曲线所截得的线段长l＝1＋－22·|x1－x2|＝5[x1＋x22－4x1x2]④将③代入④，并化简得l＝4b3，而由已知l＝4，故b＝3，a＝6.所以双曲线的方程为x236－y29＝1.点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量以及三角等基础知识和解析几何的基本思想方法，考查推理及运算能力．变式探究3已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→⊥MF2→；(3)求△F1MF2的面积．解析：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：方法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→⊥MF2→.方法二：∵MF1→＝(－3－23，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0.∴MF1→⊥MF2→.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.归纳总结•方法与技巧1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心．2．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.3．与双曲线x2a2－y2b2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程．•失误与防范1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±abx.4．若利用弦长公式计算，在涉及直线斜率时要注意说明斜率是否存在．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.新题速递1.(2012·湖南卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1解析：由双曲线焦距为10，得52＝a2＋b2.双