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概率是高考的必考内容，主要考查的内容有：等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验中恰好发生k次的概率及离散型随机变量的分布列、期望与方差等.一般会有一道选择题或填空题与一道解答题，在高考中所占的比重大于10%.近年来，高考中的应用题基本是考查离散型随机变量的期望与方差的解答题.统计知识则主要考查抽样方法、频率分布直方图、正态分布等知识，主要以选择题和填空题的形式出现.1．(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()A.45B.35C.25D.15解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b＞a的有3种取法，故所求事件的概率为P＝315＝15.答案：D2．(2010·湖北高考)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：依题意得P(A)＝12，P(B)＝16，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案：C3．(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B4．(2010·广东高考)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析：P(X4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.答案：B5．(2010·江西高考)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6，P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为：ξ1346P13161613(2)E(ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．一、概率1．随机事件的概率(1)随机事件的概率0≤P(A)≤1(若事件A为必然事件，则P(A)＝1，若事件A为不可能事件，则P(A)＝)．(2)等可能事件的概率P(A)＝(其中，为一次试验中可能出现的结果总数，为事件A在试验中包含的基本事件个数)．0mnnm2．互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝．推广：若事件A1，A2…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)3．相互独立事件同时发生的概率P(A·B)＝．P(A)·P(B)4．独立重复实验如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝.Cknpk(1－p)n－k二、概率与统计1．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝Pi，则随机变量ξ的分布列为ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…(2)离散型随机变量ξ的分布列的性质Pi≥0，＝1(i＝1,2,3，…)(3)二项分布P(ξ＝k)＝(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)，随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为．p1＋p2＋…Cknpkqn－kξ～B(n，p)2．离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，这些值的对应概率分别p1，p2，…，pi，….(1)期望①期望Eξ＝.②性质：E(c)＝；E(aξ＋b)＝(其中a，b，c为常数)．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…caEξ＋b(2)方差①方差：Dξ＝.②性质：D(aξ＋b)＝(其中a，b为常数)．③若ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．(3)统计①抽样方法：，，．②用样本的频率分布估计总体的分布，特别是频率分布直方图的应用．③正态分布、线性回归．(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·a2Dξnpnp(1－p)简单随机抽样系统抽样分层抽样pn＋…(1)抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种．这三种抽样方法各自适用于不同特点的总体，它们之间既有区别又有联系，但不论是哪种抽样方法，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．此外还要注意分层抽样中有关数值的计算．(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的频率，所有小矩形的面积之和等于1.(3)正态分布也是日常生活中一种常见的分布，要了解正态曲线的特征，会进行非标准正态分布和标准正态分布之间的转化，能够进行有关的数值计算．正态分布图的对称性质会为解题带来方便，要熟记并能灵活应用．[例1](1)(2010·北京高考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．(2)(2010·山东高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977[思路点拨](1)利用各矩形的面积之和为1求出a后，可得在[140,150]内选取人数；(2)借助于正态曲线的对称性可求．[自主解答](1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×10＝3人．(2)由题意可知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以图象关于y轴对称，又知P(ξ2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ2)－P(ξ－2)＝1－2P(ξ2)＝0.954.[答案](1)0.033(2)C解决等可能事件发生的概率问题的关键是弄清基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m，常常用排列组合知识及公式P(A)＝mn解决．[例2]在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道题就获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：(1)他获得优秀的概率是多少？(2)他获得及格与及格以上的概率有多大？[思路点拨]用排列、组合的知识正确求出答对5道题、4道题的可能种数是解答本题的关键．在计算过程中，始终要记住是从20道题中随机选了6道题，不管他需要答对几道题．答对至少4道题中的分类不要遗漏．[自主解答]只需求出答对5道题及以上的可能种数．由于选了6道题，而他会8道题，故可把他答对5道题及以上分成两类，一类是选的6道题全在他会的8道题里，有C68种选法；另一类是选的6道题中有5道题是从会的8道题中去选的，另一题是从剩下的12个不会的题中选的，有C58C112种选法，故共有C68＋C58C112＝700种．从20道题中任取6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数C620.由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．(1)记“他答对5道题及以上”为事件A1，他答对5道题及以上的结果有700种，故事件A1的概率为P(A1)＝700C620＝351938.(2)记“他至少答对4道题”为事件A2，由分析知他至少答对4道题的可能结果为C68＋C58C112＋C48C212＝5320种．故事件A2的概率为P(A2)＝5320C620＝751.1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．2.在应用n次独立重复试验的概率公式求解问题时，一定要审清是多少次试验中发生k次的事件．[例3]在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为14、13，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．(1)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．[思路点拨](1)中有两种情况；(2)中有三种情况．[自主解答](1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.由题意，事件A包括以下两个互斥事件：①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P(B)＝C23(14)2(1－14)1＝964；②事件C：3件甲批次产品检验都不合格，由相互独立事件概率公式，得P(C)＝(14)3＝164.所以，P(A)＝P(B)＋P(C)＝532.(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D.由题意，事件D包括以下三个互斥事件：①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．其概率P(E)＝(14)3·C23(13)2(1－13)＝1288.②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．其概率P(F)＝C23(14)2(1－14)·C13(13)1(1－13)2＝116；③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．其概率P(G)＝C13(14)1(1－14)2·(1－13)3＝18.所以，P(D)＝P(E)＋P(F)＋P(G)＝55288.本题条件不变，试求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率．解：记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.由题意，事件D包括以下两个互斥事件：①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．其概率P(E)＝(14)3·C13(13)1(1－13)2＝1144；②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．其概率P(F)＝C23(14)2(1－14)·(1－13)3＝124.所以，P(D)＝P(E)＋P(F)＝7144.1.在解决概率问题时，一方面要善于将复杂事件分解为比较简单的事件，对照相关的概率类型，利用相关公式进行计算；另一方面要充分利用对立事件的概率性质将问题进行转化，尤其是在含有“至少”、“至多”等词语的问题中要善于运用这一方法．2．求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点：(1)写出离散型随机变量的分布列．(2)正确应用期望与方差公式计算(同时，还应掌握如二项分布的期望与方差计算的结论等)．[例4](2010·北京高考)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6125ab24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)