【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题三 第1讲 三角恒等变换

三角恒等变换与解三角形是高考的热点内容，通常考查利用三角恒等变换的知识进行化简、求值或利用正弦定理、余弦定理解三角形，其中切化弦、角的变换及边角转换等是常考的三角变换思想.近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留着一个选择题或填空题和一个解答题的题量，而且无论是小题还是大题，题目难度都不大.但是，由于解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来，将是今后命题的一个热点，不可小视.1．(2010·全国新课标)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B.7210C．－210D.210解析：由题知，cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210.答案：A2．(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.解析：由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－43，由二倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－12，又α是第二象限的角，所以tanα＝－12.答案：－123．(2010·北京高考)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.解析：由余弦定理得3＝a2＋1－2acos2π3，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1.答案：14．(2010·辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．1．和差角公式(1)cos(α±β)＝.(2)sin(α±β)＝.(3)tan(α±β)＝.cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．倍角公式(1)sin2α＝.(2)cos2α＝＝＝.(3)tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α3．正、余弦定理及三角形面积公式(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．(2)余弦定理：a2＝；b2＝；c2＝.(3)三角形面积公式：S△ABC＝＝＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC12bcsinA12bcsinB12bcsinC1.三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．2．三角函数求值有以下类型：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[例1]已知tan(π4＋α)＝2，tanβ＝12.(1)求tanα的值；(2)求sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β的值．[思路点拨](1)把tan(α＋π4)展开求解，也可利用α＝(α＋π4)－π4求解；(2)首先把sin(α＋β)和cos(α＋β)展开再化简．[自主解答](1)法一：∵tan(π4＋α)＝2，∴tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝2.∴1＋tanα1－tanα＝2.∴tanα＝13.法二：∵tan(π4＋α)＝2，∴tanα＝tan[(π4＋α)－π4]＝tanπ4＋α－tanπ41＋tanπ4＋αtanπ4＝2－11＋2×1＝13.(2)sinα＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝cosαsinβ－sinαcosβcosαcosβ＋sinαsinβ＝sinβ－αcosβ－α＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝12－131＋12×13＝17.[例2]如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路点拨](1)由三角函数的定义可求出α、β角的余弦值，再由同角三角函数间的关系求出α、β角的正切值，由两角和的正切公式即可求出tan(α＋β)；(2)由已知条件，可先求α＋2β的某一个三角函数值，再由α＋2β的范围，求出其值．[自主解答]由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋β·tanβ＝－3＋121－－3×12＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.[例3]在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．[思路点拨]第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sinC＋sin(B－A)＝2sin2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．[自主解答](1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0，即A＝π2时，B＝π6，a＝433，b＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.1.应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．2．常见应用题型：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．[例4]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．[思路点拨]利用余弦定理构造关于t的函数，求最值．[自主解答](1)设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，smin＝103，v＝10313＝303.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝400t2－600t＋900＝400(1t－34)2＋675.由于0＜t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(1)中可过O作AB垂线OM，在Rt△AOM中，AM＝10，OM＝103，∴t＝1030＝13，∴v＝303；(2)中易犯的错误，一是不会把v转化为t的函数，二是不注意t的范围，从而导致错误．题目条件不变，问是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由(2)知v2＝400t2－600t＋900，设1t＝u(u＞0)，于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：6002－1600900－v2＞0，900－v2＞0，解得153＜v＜30.所以v的取值范围是(153，30).整体代换[例5]若1＋tanα1－tanα＝2011，则1cos2α＋tan2α＝________.[解析]1cos2α＋tan2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋sin2αcos2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cosα＋sinαcosα－sinα＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝2011.[答案]2011[解法心得]在化简三角函数式和证明三角恒等式的过程中，常借助于整体代入的思想处理问题．所谓“整体代入”是指在求解某些问题时，不能(或不必)分别求出各个量的具体值，而常考虑求出这些量所构成的代数式的整体值，从而达到解题的目的，数字“1”的变换就充分体现了这一思想，如1＝sin2x＋cos2x＝tanπ4＝sinπ2＝….“1”的代换往往会给化简、求值、证明带来奇效．(2010·江苏姜堰模拟)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(2，2)，若a·b＝85，且π4xπ2.(1)试求cos(x－π4)和tan(x－π4)的值；(2)求sin2x1＋tanx1－tanx的值．解：(1)∵a·b＝85，∴2cosx＋2sinx＝85，即cos(x－π4)＝45.∵π4xπ2，∴0x－π4π4.∴sin(x－π4)＝35，∴tan(x－π4)＝34.(2)sin2x＝cos(2x－π2)＝2cos2(x－π4)－1＝725.又∵tan(x－π4)＝tanx－11＋tanx＝34，∴tan(x＋π4)＝tanx＋11－tanx＝－43，∴sin2x1＋tanx1－