3.2立体几何中的向量方法(2)

-----利用向量解决平行与垂直问题3.2立体几何中的向量方法(二)F1E1C1B1A1D1DABCyzxO设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线平行l∥ma∥bakb；线面平行l∥au0au；面面平行∥u∥v.ukv注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。用向量运算处理平行关系线线垂直l⊥ma⊥b0ab；线面垂直l⊥a∥uaku；面面垂直⊥u⊥v0.uv设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则用向量运算处理垂直问题例1.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD典型例题分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与平行;三是证明可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.MNMNMNDNMABCD!B!C!A!例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD法1:建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是11(,0,)22MN设平面A1BD的法向量是则得(,,)nxyz100,nDAnDB且00xzxy(1,1,1)n取x=1,得y=-1,z=-1,∴111(,0,)(1,1,1)0,22MNnMNnMNABD又平面∴⊥∴∥DNMABCD!B!C!A!例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD法2:1,MNMNDA1平面ABD∴∥∴∥111111111112211(),22MNCNCMCBCCDADDDA∵法3:11111111111112211()()221111111()02222222MNCNCMDADDDBBADAADDBDABADADBDABDDABD∵即可用与线性表示,故与是共面向量,1,DADBMNDB1DAMNDNMABCD!B!C!A!∴MN∥平面A1BD当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）1111111-,://:在正方体中求证平面变式平面ABCDABCDABDCBD111111111////.//.ADCBDABCBDABDCBD证明平面同理证明平面从而证明平面平面法一:D1A1B1C1DBCAxzy法二:求出两个平面的法向量,再证明两个法向量平行即可.例2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，△ABC为正三角形．∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)法一∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.法二AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则x＝0，14x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∵PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.'''''',''在三棱柱中，底变面是正三角形，底面，求证：式：ABCABCAAABCACABBCABxyzABCC’A’B’||||sin||||||||||||dPOPAnPAPAnPAnPAnPnAO点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离。n例3:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.DABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0)，D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)EFEGE设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG，220242z0xyxy11(,,1)33n|BE|21111ndnFEB1C1D1DCA练习1.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA112.书P112第5题小结1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面;(2)通过向量运算处理平行、垂直问题;(3)根据运算结果解释相关问题.011111111,,90,1,2,1,,.(2)ABDM.补如图直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为(1)求证:平面求点到平面的距离充作业：ABCABCACBACCBAAAABBDBCMCDBDMABCDM1A1CB1xyz