【学海导航系列】2012高考数学二轮复习名师精品课件--专题3第12讲 函数、几何背景下的数列综合问

专题一函数与导数专题三不等式、数列、推理与证明1几何背景下的数列综合问题，一般是以几何问题为载体，构成数列情境，内容往往涉及几何、数列、方程等方面，问题求解应根据题设理清思路，利用数形结合思想，函数方程思想，转化化归思想，破译问题情境，转化化归为等差、等比数列或简单的递推数列，．从而解决问题．2nmnaaS函数背景下的数列综合问题，一般通过某个函数建立、、之间的等量关系式，是数列与函数的一种常见的综合问题，求解的基本思路是从函数的角度思考问题，有效地利用函数的性质，特别是导数工具，逐步过渡为数列问题．从而解决问题．*1()2123456789101112131415ijiaijijiN把正数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表：设、是位于这个数中从上往下数第行、从左往右数第个例1数．数表中第行共有一、数阵问整题个正数．2112233122223422010112233444()12ijnnnnaijAaaaaAAAAnAnn若，求、的值；把，通过观察与，与，与，与，猜想当时，与的大小关系不要求证明．211101110101122332“—”12222121.220102211.01021201098201021127.ijnnniijijnaAnajajAaaija思路：首先根据信息容易得到每行数的个数，再依据与数表位置的关系而求解；第问的关键是得到表达式，再用归纳猜想的方法解决．数表中前行共有个数，所以因为，，所以令，解得因为解析：21(1222)[1231]nnnan，22222222221212322.23212232423222232322.2nnnnnnnnnnnnAnnnnnnnnnAnnnnnAnnnnnnnnAnn所以当时，，则；当时，，则；当当时，，则；时，猜想24222122222434242162322232(4)2232222232.213123222645621022nkkknnnkknkkkkkkkkkkkkkkkk下面用数学归纳法证明猜想正确．①当时，，即成立；②假设当时，，则因为，212222213122.21324224.(4321,2,3224.knnnnnnAnnnAnnkknknnnnAnnnnn所以即当时，猜想也正确．由①②得，当时，成综上立，即所述，当时，当时，证明当时，，还可用下面；当时，的方法：0123nnnn24211CCC1121261321.)22nnnCnnnnnnnnnnn当时，分析数阵问题的关键是识图识表，理解图所含信息给出的规律，突破了这点就较容易转化为基本的数列问题了，然后利用数列的基本知识、方法与技巧便可解【点评】决问题．3211123()128.3(1()1(2))11112.2nnnnnnnnnnfxxxanSnSyfxabbnbabntbtbbbb已知函数记数列的前项和为，且动点，总在函数的图象上．求数列的通项公式；在数列二、函数背景下的数列问题ⅰⅱ中，，它的第项是数例2列的第项．试求常数的值，使数列成等比数列；求证：2211221111122.13222121.121(1211.22112)nnnnnnnnnnnnnnfxxxSnnnaSnaSSnnnnnnanbabbanbtqbtqbtbqbqqtt因为，所以当时，，当时，，且时也适合此式，故数列的通项公式是依题意，当时，，设数列的公比为，则，所以．对照，所以上式有：ⅰ解析：11111123211()12221.22102.11111()22111111111112(1)12)2.(2221nnnnnnnnnnnnnbbnbbbbbbbbbbbb由ⅰ知，是以为首项，为公比的等比数列，所以当时，由，得所以，所以＜＜ⅱ解决函数背景下的数列问题的切入点是依据题设条件，探究数列的简单递推关系式或通项公式，将问题化归为数列基本问【点评】题求解．*11112221212(2011)1,0((0)112).2knnnnPCyxxkkMMxPPCMMxPMMMaaaaakN过点作曲线：，，，的切线，切点为，设在轴上的投影是点又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，，依此下去，得到一系列点，，，，，设它们的横坐标，，，，构成数列．求证：数列是等比数列，并求其三、几何背景下的数通项公式；当例3常德月问题考列时，令.nnnnnbbnSa，求数列的前项和利用求导数这一工具求出切线斜率，进而求出切线方程，通过求点的坐标等价转化成数分析:列问题．11111111,11()11,0011100.1()11111kknnnkknnkknnnnnnnnnnyxykxMaayakaxanPkakaaaknPaakakaaaakkkakkakka对求导数，得，则切点是，的切线方程是．当时，切线过点，即，得；当时，切线过点，即，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为解析：，*.nN2323412311122.212322221113.22222111112222221111221.1222122.222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnkabnbnSnSnSSnnn当时，，数列的前项和，得两式相所以减，得.()利用求导数这一公具求出切线斜率进而求出切线方程，通过求点的坐标等价转化成数列问题．第一小问看视繁杂，但只有理清了思路利用导数求曲线的切线方程，再加上运算细心，也就迎刃【点评】而解了．1*11231232(2)45.21.118412nnnnnnnnnnanSaSyxnbaaabfxbxbxbxbxffnnN已知数列的前项和为，点，在直线上，其中令，且求数列的通项公式；若，求的表达式，并备选题比较与的大小．11*1*111*11*1111211214254343(2)44(2)222(2)22(2)22124nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSaSannaSSaannaaaannbaannbaabqbaaaaaNNNN因为，即，所以，，所以，，所以，，所以，，所以数列为等比数列，其解析:公比为，首项，而21111316426224.nnnaabb，且，所以，所以，所以231232112312323413452234122231231222322212223221222224122421221nnnnnnnnnnnnfxbxbxbxbxfxbbxbxnbxfbbbnbfnfnfnn因为，所以，所以，所以，①所以，②①②得：2221412nnnfn，所以，22222201118441242141221118401842184445401843410211CCCC222123321.nnnnnnnnnnnfnnnnnnnnnfnnfnnnfnnfnnnnnnnnf所以．当时，，所以；当时，，所以；当所以当时，，且，所以当时，总有时，总有2184.nn数列的渗透力很强，它和函数、方程、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度．所以，解决此类题目仅靠掌握一点数列的基本知识，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法主要有“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”“等价转化”等．