悬臂梁固有频率的计算

1悬臂梁固有频率的计算试求在0x处固定、xl处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0wxtwxtEIAxt；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI)0(4)xlxld，；该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)CcossincoshsinhWxCxCxCx，(t)AcostBsintTww；其中24AEI将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C0C，24C0C；进一步整理可得12(x)C(coscosh)(sinsinh)WxxCxx；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(coscosh)C(sinsinh)0Cllll；12(sinsinh)C(coscosh)0Cllll要求12CC和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(coscosh)(sinsinh)=0(sinsinh)(coscosh)llllllll所以得到频率方程为：cos()cosh()1nnll；该方程的根nl表示振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...nnEIwlnAl满足上式中的各nl（1,2,...n）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.8751044.6940917.85475710.99554114.1372lllll，，，，；若相对于n的2C值表示为2nC，根据式中的1nC，2nC可以表示为21coscosh()sinsinhnnnnnnllCCll；2因此1coscosh(x)C(cosxcoshx)(sinxsinhx),1,2,...sinsinhnnnnnnnnnnllWnll由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1112222221234441.875104()4.694091()7.854757()EIEIEIAlAlAl，，，112222454410.995541()14.1372()EIEIAlAl，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：4242442224(,)(,)(1)0wxtwxtEwIwEIAIkGkGxtxtt；边界条件：(0)(0)0wxx（1），0xlxlwxx（2）；设方程的通解为：(,)Csincosnnxwxtwtl；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：422222224442224r()(1)0nnnrnrEnwwkGllkGl；其中22IEIrAA，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为222222=nnEInwlAl；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：222221234522222491625EIEIEIEIEI，，，，。多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量12345m5mmmmm。1.邓克莱法邓克莱公式为：3111222555211aaammm，其中3333311223344558964,,,,3753751253753lllllaaaaaEIEIEIEIEI，12345m5mmmmm；将其代入上式可求得系统的基频为：12142.887()EIwAl，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104()EIAl偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为0000000010000500000000mmMmmm33333333333333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375lllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIlllllEIEIEIEIEIllllEIEIEI33lEIEI135177986279322212700045002258541811818627911172112447194500157505861931811813222112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EIKl6029130取静变形曲线为假设阵型，设(40141279436600)TA有3231122000EI28401503lm649418m,,75EITTTAMAAKAAMMAl所以448.648.57(A)=,(A)TTTTAKAEIAMAEIRRAMAlAMMAl，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率122141.875104()EIAl偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为12(12345)(13579)TT，；4则可求出**,MK分别为*T33*T335595=9516578375EI57375EI181l181l57375EI78375EI181l181lmmMMmmKK将**,MK代入**2**()0KwMA得**2*0KwM；可以求得：*13EI59.08mwl，*23EI3.53mwl；以及*(1)*(2)11A,A0.5780.29；所以系统前两阶主阵型的近似为(1)*(1)(2)*(2)1.00001.00000.63031.5915A=A=0.4220.2607,A=A=0.712.1831-0.10902.7746-0.47873.36624.雅克比法动力矩阵为333333333333333333333lmlm4lm11lm7lm375EI150EI375EI750EI375EIlm8lm14lm4lm26lm150EI375EI375EI75EI375EI4lm14lm9lm27lm18lm375EI375EI125EI250EI125EI11lm4lm27lm64lm88lm750EI75EI250EI375EI375EI7lm2375EIDM33336lm18lm88lmlm375EI125EI375EI3EI，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率2.930000018.700000052.700000100003EI*m000158.11l，阵型为0.04590.16690.33870.53930.75130.22900.55890.58020.1677-0.5201-0.4879-0.54460.25480.5306-0.3448-0.64810.13320.4650-0.55390.19T790.5361-0.58780.5172-0.30460.08335