浙江大学连续介质力学张量分析课件

张量分析有用的数学工具，学习力学相关课程（连续介质力学）打基础本质——数学分支王叶龙参考教材：1.张若京，张量分析简明教程，同济大学出版社20042.张若京，张量分析教程，同济大学出版社20093.W.弗留盖著，张量分析与连续介质力学。白诤译。中国建筑工业出版社，19804.黄克智，薛明德，陆明万，张量分析（第2版）。清华大学出版社，2003第一章曲线坐标系与张量kjipzyxppp坐标系，（笛卡尔）直角坐标系xYZyzXO矢量的表达:kji,,表示沿着坐标轴的单位矢量，称为基矢量矢量的点积（乘）vuvuvu,cosvu,两矢量之间的夹角,表示长度（1.0.1）（1.0.2）u0,0,01,1,1kjkijikkjjiikpjpipikjipzyxzyxpppppp矢量在坐标轴上的投影(矢量的分量）：zzyyxxzyxzyxvuvuvuvvvuuukjikjivu（1.0.4）（1.0.3）（1.0.5）kji,,两两正交且归一可见笛卡尔系下矢量的点积计算简单1.1斜角直线坐标系x1x2g1g2g1g2O取二维斜角直线坐标系OX1X2夹角为,右上角的数字上标，非幂次（全书如此）选取沿坐标线的矢量g1，g2（可以不是单位矢量）为基矢量，则任意二维矢量可分解（按平行四边形法则）：212211ggggppppp约定求和，该约定称为爱因斯坦约定爱因斯坦约定：凡在同一项中，上、下指标成对出现，就要求和。该成对出现的指标，称为哑指标，如上面的a。一般:用希腊字母（即）表示二维指标，取值范围为1和2；用拉丁字母（即i,j…）表示三维指标，取值范围为1,2和3（1.1.1）点积：复杂，因基矢量不相互正交22112211ggggvuvvuu为使点积类似直角坐标系那样简单，引入与基矢量相互正交的另外一组参考矢量g1,g2。01221gggg12211gggg并使：参考矢量g1,g2惟一确定，与原来的那组基矢量两两夹角为锐角当为锐角时，此夹角为当为锐角时，此夹角为22sin1,sin12211gggg（1.1.2a）（1.1.2b）（1.1.3）（1.1.2）可以统一的表示成：gggg（1.1.4）,0,1称为二维Kronecker符号，其值为：当=当≠（1.1.5）为了区别g1,g2和g1,g2这两组基矢量，称沿着坐标线的一组基矢量g为协变基矢量，而称新引入的另一组基矢量g为逆变基矢量。任意矢量的两种分解：ggppp（1.1.6）以上是二维情况，对三维斜角直线坐标系，设协变基是gj，则逆变基gi按下式引入：ijjigg（1.1.7）ij,0,1ij为三维Kronecker符号，其值为：当i=j当i≠j（1.1.8）任意一个三维矢量的两种分解：iiiippggp（1.1.9）对应矢量的两种分量：ipip逆变分量协变分量iiijjijjpppgpggp（1.1.10a）iijijijjpppgpggp（1.1.10b）iipgpiipgp（1.1.11）写在一起：与笛卡尔坐标系下的表达式(1.0.4）一样简单iiijjijijijjiivuvuvuvuggggvu引入了对偶基（逆变基），矢量的点积变得简单(1.1.12a)(1.1.12b)类似有：iijijijijijjiivuvuvuvuggggvu矢量点积的形式上与在与笛卡尔坐标系下的表达式(1.0.5）一样简单坐标系回顾1.2曲线坐标系的基矢量三个独立参数（实变数）来描述点的位置，即为坐标三个参数中某一个连续变动其值，而另外两个保持不变，则该点将描出一条轨迹曲线，即为坐标线（通过每一点，有三条坐标线）。一般情况下是曲线。三个参数中某一个保持不变，而另外两个连续变动其值，则形成的点的集合就构成坐标面（通过每一点，必有三个坐标面）。一般情况下是曲面。xyzrθyxzθiixrg位置矢量rOMrdriidxxdrr矢径微段dr，显然有：在坐标系OX1X2X3中(1.2.1)分母中的上标表示整个分式的下标，约定求和令基矢量其为经过M点的三个矢量，沿着坐标线的切线方向，且指向坐标增加的一侧。三者不共面（因为坐标系不共面）。选择三个基矢量的顺序，使之构成右手系，这就要求：(1.2.2)0321gggiidxdgr(1.2.3)cbaabc表示三个矢量a,b,c所构成的体积，称为混合积。321,,ggg自然基矢量曲线坐标系的逆变量gi可以参照斜角坐标系的（1.1.7）定义，公式（1.1.9）—（1.1.12）仍然适用，区别：曲线坐标系里，基矢量的大小和方向都跟随点的位置变化而变化，基矢量是点的位置的函数，与直线坐标系不同。所以说，曲线坐标系是局部坐标系，而直线坐标系是整体坐标系。321321,,,,,xxxxxxiiiigggg矢量附着在点上，如力，速度等等曲线坐标系下，矢量的分解，就是按该点处的基矢量进行分解。1.3坐标变换xixi’,i’=1,2,3iiiixxxxxxx'321'',,(1.3.1)有各阶连续导数，且变换的雅克比行列式不等于零：0'iixx03'32'31'33'22'21'23'12'11'1xxxxxxxxxxxxxxxxxx故有逆变换：''3'2'1,,iiiixxxxxxx(1.3.3)(1.3.2)两组坐标系有各自的基矢量。设老坐标系的协变基与逆变基为：新坐标系的协变基与逆变基为'',,iiiiggggjjiigg''jijigg''i’自由指标，两边都有j哑指标，求和ji'称为协变变换系数，由九个数组成。'ij称为逆变变换系数，也由九个数组成。(1.3.4)(1.3.5)上面两式等号两边自由指标都平衡，指标符号相同且上下位置相同。在新坐标系里，两组坐标互为对偶。''''kikigg''''''''''''kjjiljkljiljkljilkljjikikigggggg(1.3.6)(1.3.7)''''kjjiki新基用老基表示：上式有两个自由指标，都可以在1-3变换，所以一共有9个方程，可以求解9个未知数；一组变换系数刚好有9个数。所以知道一组可以求另一组。其实写成矩阵型式，令下标表示行，上标表示列，则上式可以写为：100010001'33'23'13'32'22'12'31'21'113'32'31'33'22'21'23'12'11'1（1.3.8）''kjji和组成的系数矩阵互为逆矩阵。老基用新基表示：可以在（1.3.4）式的基础上推导jjiigg''jjiikiikgg''''100010001'33'23'13'32'22'12'31'21'113'32'31'33'22'21'23'12'11'1（1.3.8），两矩阵互为逆矩阵，可以交换两个矩阵的位置1000100013'32'31'33'22'21'23'12'11'1'33'23'13'32'22'12'31'21'11jkjiik''kjjkjjiikiikgggg''''''iikkgg即为：（1.3.10）（1.3.9）（1.3.11）（1.3.12）jkjkkikjiijikikijigggggg'''''''变换系数的求法：类似的：对（1.3.5）运算(1.3.14)iixrg由(1.2.2)，老坐标系协变基矢量：新坐标系协变基矢量：''iixrg利用复合函数求导公式有：jijijjiixxxxxxgrrg''''jjiigg''(1.3.4)(1.3.15)''ijjixx(1.3.16)与前式比较：jiijxx''(1.3.17)例：求如图所示三维空间的柱坐标（z）与笛卡尔坐标(x,y,z)的变换系数同理可得：xyzrθ解：如图，任意一点P的柱坐标（z）与笛卡尔坐标(x,y,z)满足：zzyxsincos(1.3.18)不妨把圆柱坐标系看作老坐标系，笛卡尔坐标系看作新坐标系：即：(x1,x2,x3)=(z)(x1’,x2’,x3’)=(x,y,z)逆变变换系数可以有（1.3.17）式求出：cos1'1'11xxxsin1'2'21yxx01'3'31zxxsin'12xcos'2yz0'32z0'13zx0'23zy1'33zz逆变变换系数的求法一：由（1.3.18）可得：xytgyx/,22从而逆变变换系数为：''ijjixx(1.3.16)cos1'1x/sin2'1x03'1xzsin1'2y/cos2'2y03'2yz01'3z02'3z13'3zz(1.3.19)(1.3.20)满足(1.3.10)逆变变换系数的求法二：由（1.3.10）出发求对应的一组变化系数，但是要注意区分矩阵的行或者列柱坐标系的基矢量：(1.3.12)可得协变基矢量：(1.3.14)可得逆变基矢量：笛卡尔坐标系的基矢量：kggjggigg'3'3'2'2'1'1,,kgjigjig321,cossin,sincoskgjigjig321,cos1sin1,sincos''iikkgg''ikikgg矢量在不同坐标系中的分量之间的变换关系iiiivvggvijjijijivvvv'''',（1.3.23）（1.3.24）''''iikikiiivvvgvggv''''iiiivvggv'jgijijvv''（1.3.25）同理：''''kkiiiiiivvvgggv'jg''jiijvv反过来：老的分量用新的分量表示：新的分量用老的分量表示：（1.3.26）（1.3.27）（1.3.28）xyzrθ柱坐标系及球坐标系iiiiidsdxHdxgerzddrrddzseeerdrdrrdrsindeeeyxzθ张量一个量（或者数的集合）有3N个分量（N是幂指数），其每个分量在三维空间R3中的坐标变换下，满足以下变换规律：nmmmnnnmjjiiiiiijjjjjjiiTT11'1'1''11''1''1式中，NnmN阶张量N阶张量的具有m阶协变和n阶逆变的混变分量。nmjjiiT11a.并乘张量张量类型：jiijjijijijijiijbaTbaTbaTbaT,,,已知矢量a，b协变混变混变逆变1.4张量b.构造张量jijibTa已知矢量a，b，考察九个量Tij，联系上面两矢量''''jjiibTa若要在新坐标系下，联系上面两矢量关系仍然成立则，Tij必须是二阶张量C.其他类型张量1.5.张量的实体表示矢量的表示法，分量表示法iiiivvggv实体表示法iivv矢量实体表示法优点：表现了矢量不随坐标系变换而变化的本来性质''''iiiiiiiivvvvggggv矢量的并乘jiijjijijijijiijbaTbaTbaTba